拆贡献算总和(抓住双射)+竞赛图与连通分量相关计数:arc163_d

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首先竞赛图有个性质:

在这里插入图片描述
然后有了这个性质,我们就可以考虑计数题的经典套路,拆贡献算总和。

考虑假如我们成功划分成两个集合 A , B A,B A,B,其中一个可以为空(我们可以令 A A A 可以为空,防止算重),我们就记为算到一个新的连通块。

为什么是对的?

考虑对于 k k k 个连通块的竞赛图,必然会有 k k k 种划分方法。而对应每种划分方法,恰好也对应着其某些竞赛图的一种划分方式中相对应的连通分量。这个过程形成一个双射关系。

最关键的地方抓住了,然后剩下直接上dp就行了。

d p i , j , k dp_{i,j,k} dpi,j,k i i i 个点, j j j 个在 A A A 里,有 k k k 个为小连大。转移枚举在哪个连通块,有多少条边为小连大,转移系数乘个组合数就行了。

	f[1][0][0]=f[1][1][0]=1; 
	for(i=1; i<n; ++i) {
		for(j=0; j<=i; ++j) 
			for(k=0; k<=m; ++k) {
				for(c=0; c<=j && k+c<=m; ++c) {
					Add(f[i+1][j+1][k+c], f[i][j][k]*C(j, c)%mo); 
				}
				for(c=0; c<=i-j && k+j+c<=m; ++c) {
					Add(f[i+1][j][k+j+c], f[i][j][k]*C(i-j, c)%mo); 
				}
			}
	}
	for(i=0; i<n; ++i) Add(ans, f[n][i][m]); 

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