【数学建模算法】(18)排队论：M/M/s等待制排队模型

1.单服务台模型

单服务台等待制模型是指：顾客的相机到达时间服从参数为的负指数分布，服务台个数为1，服务时间服从参数为的负指数分布，系统空间无限，允许无限排队，这是一类最简单的排队系统。

1.1.队长的分布

记为系统到达平衡状态后队长的概率分布，则由(17)中关于指数分布的分析,并注意到和。记
并设（否则队列将排至无限远），则：
所以：
其中
因此
上面两个公式废除了在平衡条件下系统中顾客数为的概率。由上式可以看出，是系统中至少有一个顾客的概率，也就是服务台处于忙的状态的概率，因此，因此也成为服务强度，它反映了系统繁忙的程度。此外，上述式子的推导前提是即要求顾客的平均到达率小于系统的平均服务率，才能使系统达到统计平衡。

1.2.几个主要性能指标

已经得到概率分布，可以求得期望，期望即为平均队长：

平均排队长是：

关于顾客在系统中的逗留时间，可说明它服从参数为的负指数分布，即
可直接得到平均逗留时间：
因此，顾客在系统中的逗留时间为等待时间和接受服务时间之和，即：
故由：
可得等待时间为：

与平均逗留时间具有关系：

同理，平均排队长与平均等待时间具有关系

上面两个公式称为Littile公式，是排队论中一个非常重要的公式。

1.3.忙期和闲期

在平衡状态下，忙期和闲期一般为随机变量，求取它们的分布是比较麻烦的。因此，我们来求一下平均忙期和平均闲期。由于忙期和闲期出现的概率分别为和，所以在一段时间内可以认为忙期和闲期的总长度之比为。又因为忙期和闲期是交替出现的，所以在充分长的时间里，它们出现的平均次数应是相同的。于是，忙期的平均长度和闲期的平均长度之比也应是，即

又因为在到达为 Poisson 流时，根据负指数分布的无记忆性和到达与服务相互独立的假设，容易证明从系统空闲时刻起到下一个顾客到达时刻止（即闲期）的时间间隔仍服从参数为 的负指数分布，且与到达时间间隔相互独立。因此，平均闲期应为，这样，便求得平均忙期为：

可发现，平均逗留时间=平均忙期。
从直观上看，顾客在系统中逗留的时间越长，服务员连续繁忙的时间也就越长。