Jordan标准形知识梳理
文章目录
- λ-矩阵
- Smith标准形
- Jordan标准形
- 零化多项式与最小多项式
λ-矩阵
若矩阵 A ∈ C m , n \mathbf{A} \in \mathbb{C}^{m,n} A∈Cm,n 的元素 a i , j a_{i,j} ai,j 为关于 λ λ λ 的多项式 a i , j ( λ ) a_{i,j}(λ) ai,j(λ)，则称 A \mathbf{A} A为 λ λ λ-矩阵(表示为 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ)).
λ λ λ-矩阵也存在秩、逆矩阵、初等变换、相抵（经过有限次初等变换得到）的概念，但是有一些不同，λ-矩阵可逆一定满秩，满秩不一定可逆；等秩的矩阵不一定相抵.
λ λ λ-矩阵可逆的充要条件是行列式为非零常数.
Smith标准形
定义. 若 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ) 经初等变换，变换成如下形式：
A ( λ ) ≃ d i a g { d 1 ( λ ) , . . . . , d r ( λ ) , 0 , . . . , 0 } \mathbf{A}(λ) \simeq \mathrm{diag} \{d_1(λ), ...., d_r(λ), 0, ..., 0\} A(λ)≃diag{d1(λ),....,dr(λ),0,...,0}
其中 d i ( λ ) d_i(λ) di(λ) 是首项系数为 1 的多项式，且 d i − 1 ( λ ) d_{i-1}(λ) di−1(λ) 能整除 d i ( λ ) d_{i}(λ) di(λ)（即 d i − 1 ( λ ) ∣ d i ( λ ) d_{i-1}(λ)|d_{i}(λ) di−1(λ)∣di(λ)）
则称其为 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ) 的Smith标准形.
存在性： 必然存在.
唯一性：唯一.
求法: 见 link.
定义. Smith 标准形中的 d 1 ( λ ) , . . . . , d r ( λ ) d_1(λ), ...., d_r(λ) d1(λ),....,dr(λ) 称为 A \mathbf{A} A的不变因子.
定义. 定义 k k k 阶行列式因子 D k ( λ ) D_k(\lambda) Dk(λ) ( 1 ≤ k ≤ r 1\leq k\leq r 1≤k≤r) 为： A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ) 中全部 k k k 阶子式的最大公因式称为 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ) 的k阶行列式因子，记为 D k ( λ ) D_{k}(λ) Dk(λ).
性质. D 1 ( λ ) = d 1 ( λ ) D_{1}(λ)=d_{1}(λ) D1(λ)=d1(λ); D 2 ( λ ) = d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) D_{2}(λ)=d_{1}(λ)d_{2}(λ) D2(λ)=d1(λ)d2(λ), …, D r ( λ ) = d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) . . . d r ( λ ) D_{r}(λ)=d_{1}(λ)d_{2}(λ)...d_{r}(λ) Dr(λ)=d1(λ)d2(λ)...dr(λ).
证明：初等变换不改变行列式和子式的值，因此求 D k ( λ ) D_{k}(λ) Dk(λ) 可以看 Smith 标准形. 考虑选取第1 ~ k 行第1 ~ k 列的子式, 其值为 D k ( λ ) = Π i = 1 k d i ( λ ) D_{k}(λ)=\Pi_{i=1}^{k}d_{i}(\lambda) Dk(λ)=Πi=1kdi(λ), 易证其必然可以整除其他 k k k 阶子式, 因此为所有 k k k 阶子式的最大公因式.
定义. 设 d r ( λ ) d_r(\lambda) dr(λ) 有因子 { λ j } j = 1 s \{λ_j\}_{j=1}^{s} {λj}j=1s, 则不变因子组可以表示成如下形式：
d 1 ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e 11 . . . ( λ − λ s ) e 1 s d_{1}(λ)=(λ-λ_1)^{e_{11}}...(λ-λ_s)^{e_{1s}} d1(λ)=(λ−λ1)e11...(λ−λs)e1s
. . . ... ...
d r ( λ ) = ( λ − λ 1 ) e r 1 . . . ( λ − λ s ) e r s d_{r}(λ)=(λ-λ_1)^{e_{r1}}...(λ-λ_s)^{e_{rs}} dr(λ)=(λ−λ1)er1...(λ−λs)ers
其中, 0 ≤ e 1 j ≤ e 2 j ≤ . . . ≤ e r j 0 \leq e_{1j} \leq e_{2j} \leq ... \leq e_{rj} 0≤e1j≤e2j≤...≤erj, e r j ≠ 0 e_{rj} \neq 0 erj=0, j = 1 , 2 , . . . , s j=1,2,...,s j=1,2,...,s.
定义. d 1 d_1 d1~ d s d_s ds 的所有因子 ( λ − λ j ) e i j (λ-λ_j)^{e_{ij}} (λ−λj)eij, e i j ≠ 0 e_{ij}\neq 0 eij=0, i = 1 , 2 , . . . , r i=1,2,...,r i=1,2,...,r , j = 1 , 2 , . . . , s j=1,2,...,s j=1,2,...,s 叫做 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ) 的初等因子.
定理. 相抵的λ-矩阵有相同的Smith标准形，进而有相同的不变因子、各阶行列式因子，反之亦然.
定理. 若 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ) 是对角阵, A ( λ ) = d i a g { A 1 ( λ ) , . . . , A r ( λ ) , 0 , . . . } \mathbf{A}(λ)=\mathrm{diag}\{\mathbf{A}_{1}(λ), ..., \mathbf{A}_{r}(λ), 0,...\} A(λ)=diag{A1(λ),...,Ar(λ),0,...}, 则 A 1 ( λ ) , . . . , A r ( λ ) \mathbf{A}_{1}(λ), ..., \mathbf{A}_{r}(λ) A1(λ),...,Ar(λ) 的初等因子并集构成 A ( λ ) \mathbf{A}(λ) A(λ) 的初等因子.
Jordan标准形
定义. 数字矩阵 A \mathbf{A} A 的 k k k 阶行列式, 初等因子与不变因子指 λ I − A λ\mathbf{I}-\mathbf{A} λI−A 的 k k k 阶行列式, 不变因子与初等因子.
定理. 不变因子的因子组就是矩阵的特征值组, 不变因子的乘积就是矩阵的特征多项式.
定理. A \mathbf{A} A 是 n n n 阶方阵，则 A \mathbf{A} A 与对角阵相似的充要条件是的 A \mathbf{A} A 初等因子都是一次的.
定理. A \mathbf{A} A, B \mathbf{B} B 是 n n n 阶方阵，则 A ∼ B \mathbf{A}\sim \mathbf{B} A∼B的充要条件是 λ I − A λ\mathbf{I}-\mathbf{A} λI−A 与 λ I − B λ\mathbf{I}-\mathbf{B} λI−B 相抵.
定理. 设 A \mathbf{A} A 的初等因子为 ( λ − λ i ) n i (λ-λ_i)^{n_i} (λ−λi)ni, i = 1 , . . . , s i=1,...,s i=1,...,s 则 A \mathbf{A} A 与 J A = d i a g { J 1 , . . . , J s } \mathbf{J}_\mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\mathbf{J}_1,...,\mathbf{J}_{s}\} JA=diag{J1,...,Js} 相似.
其中 J i \mathbf{J}_{i} Ji 是Jordan块
[ λ i 1 λ i 1 ⋱ ⋱ λ i 1 λ i ] n i × n i \begin{bmatrix} \lambda_i & 1 & & & \\ & \lambda_i & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \lambda_i & 1\\ & & & & \lambda_i \end{bmatrix}_{n_i \times n_i} λi1λi1⋱⋱λi1λi ni×ni
定义. J A \mathbf{J}_\mathbf{A} JA 称为 A \mathbf{A} A 的 Jordan 标准形.
定理. Jordan 块
J = [ λ 0 1 λ 0 1 ⋱ ⋱ λ 0 1 λ 0 ] r × r \mathbf{J}=\begin{bmatrix} \lambda_0 & 1 & & & \\ & \lambda_0 & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & \lambda_0 & 1\\ & & & & \lambda_0 \end{bmatrix}_{r \times r} J= λ01λ01⋱⋱λ01λ0 r×r
的不变因子为: d 1 ( λ ) = 1 d_1(\lambda)=1 d1(λ)=1, …, d r − 1 ( λ ) = 1 d_{r-1}(\lambda)=1 dr−1(λ)=1, d r ( λ ) = ( λ − λ 0 ) r d_{r}(\lambda)=(\lambda-\lambda_0)^r dr(λ)=(λ−λ0)r.
证明: 注意到划去第 n n n 行第 1 1 1 列的子式
∣ 1 λ 0 1 ⋱ ⋱ λ 0 1 ∣ = 1 \begin{vmatrix} 1 & & & \\ \lambda_{0} &1 & & \\ & \ddots& \ddots & \\ & & \lambda_{0} & 1 \\ \end{vmatrix}=1 1λ01⋱⋱λ01 =1
因此 D n − 1 ( λ ) = 1 D_{n-1}( \lambda)=1 Dn−1(λ)=1, D n ( λ ) = ∣ J ∣ = ( λ − λ 0 ) r D_{n}( \lambda)=|\mathbf{J}|=(\lambda-\lambda_0)^{r} Dn(λ)=∣J∣=(λ−λ0)r, 由此可知命题结论.
零化多项式与最小多项式
定义. 设 A \mathbf{A} A 是 n n n 阶矩阵, 如果存在多项式 ϕ ( λ ) \phi(λ) ϕ(λ) 使得 ϕ ( A ) = 0 \phi(\mathbf{A})=\mathbf{0} ϕ(A)=0, 则称 ϕ ( λ ) 为 A \phi(λ)为\mathbf{A} ϕ(λ)为A 的零化多项式.
定义. n n n 阶矩阵 A \mathbf{A} A 的所有零化多项式中，次数最低且首项系数为 1 1 1 的多项式称为 A \mathbf{A} A 的最小多项式，记为 m ( λ ) m(λ) m(λ).
定理. 任意零化多项式 ϕ ( λ ) \phi(λ) ϕ(λ), 必然是 m ( λ ) m(λ) m(λ) 的倍式.
推论：最小多项式是唯一的.
推论：特征多项式为一个零化多项式, 进而最小多项式的次数不会超过 n n n.
推论：特征多项式的根是其最小多项式的根.
定理. Jordan块
[ a 1 a 1 ⋱ ⋱ a 1 a ] s × s \begin{bmatrix} a & 1 & & & \\ & a & 1 & & \\ & & \ddots & \ddots & \\ & & & a & 1\\ & & & & a \end{bmatrix}_{s \times s} a1a1⋱⋱a1a s×s
的最小多项式:
J = ( λ − a ) s \mathbf{J}=(λ-a)^{s} J=(λ−a)s
定理. 分块矩阵 A = d i a g { A 1 , . . . , A s } \mathbf{A}=\mathrm{diag}\{\mathbf{A}_1, ..., \mathbf{A}_s\} A=diag{A1,...,As} 的最小多项式是 m 1 ( λ ) , . . . , m s ( λ ) m_{1}(λ),...,m_{s}(λ) m1(λ),...,ms(λ) 的最小公倍式.
定理. n n n 阶方阵 A \mathbf{A} A 的最小多项式是 A \mathbf{A} A 的第 n n n 个不变因子 d n ( λ ) d_n(λ) dn(λ).
定理. n n n 阶方阵 A \mathbf{A} A 相似于对角阵的充要条件是 m ( λ ) m(λ) m(λ) 的重零点.
2023年9月20日