离散数学_一阶逻辑_部分习题

2.3 在一阶逻辑中将下列命题符号化

(1)每个大学生不是文科生就是理科生

令$F(x):x$是大学生 $G(x):x$是文科生 $H(x):x$是理科生

命题符号化：$\forall x(F(x)\to (G(x)\vee H(x)))$

(3)没有不犯错误的人

令$F(x):x$是人，$G(x):x$犯错误

命题符号化：$\neg \exists (F(x)\wedge \neg G(x))$

2.6 设解释 $R$ 和赋值$\sigma$。如下：$D_R$ 是实数集，$a=0$, 函数 $f(x,y)=xーy$，谓词$F(x,y)$ 为$x<y$， $\sigma :\sigma (x)=0$, $\sigma (y)=1$, $\sigma (z)=2$. 在解释 $R$ 和赋值 $\sigma$下，下列哪些公式为真？哪些为假？

(2) $\forall xF(f(x,y),x)\to \exists y\neg F(x,f(y,z))$

$\forall x\forall y(x-y⩾x)$

假

(4) $\forall x\exists yF(x,f(f(x,y),y))$

$\forall x\exists y(x<x-2y)$

真

2.12 设个体域$D=\{a,b,c\}$，消去下列公式中的量词

(2)$\forall x(F(x)\wedge \exists yG(y))$

$\forall xF(x)\wedge \exists yG(y)$

$\leftrightarrow (F(a)\wedge F(b)\wedge F(c))\wedge (G(a)\vee G(b)\vee (c))$

2.15 求下列各式的前束范式

(1)$\forall xF(x)\vee \exists yG(x,y)$

$\leftrightarrow \forall xF(x)\vee \exists yG(z,y)$

$\leftrightarrow \forall x\exists y(F(x)\vee G(z,y))$

(2)$\exists x(F(x)\wedge \forall yG(x,y,z))\to \exists zH(x,y,z)$

$\leftrightarrow \exists x(F(x)\wedge \forall yG(x,y,u))\to \exists zH(x,\varpi ,z)$

$\leftrightarrow \exists x\forall y(F(x)\wedge G(x,y,u))\to \exists zH(x,\varpi ,z)$

$\leftrightarrow \exists x\forall y(F(x)\wedge G(x,y,u))\to H(x,\varpi ,z)$