数据结构——查找(二叉排序树)

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前言

二叉排序树查找定义
二叉排序树构造
二叉排序树查找递归和非递归算法
二叉排序树插入递归和非递归算法
二叉排序树删除递归和非递归算法

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一、二叉排序树

1. 动态查找表的特点是：
   表结构本身是在查找过程中动态生成的，即对于给定值key，
   若表中存在其关键字等于key的记录，则查找成功返回，否则插入关键字等于key的记录
2. 定义：简称BST，也称二叉查找树；左子树值全部小于根结点值，右子树值全部大于根结点值，左右子树本身也是二叉排序树，所以二叉排序树中序遍历可以得到一个递增序列
   

构造二叉排序树步骤

构造二叉排序树步骤图

二叉排序树的查找

1. 二叉排序树查找：从根结点开始，沿某一条分支逐层向下进行比较的过程，将给定值与根结点进行比较，若相等，则查找成功；若根结点关键字大于关键字，在根结点左子树中查找，否则在右子树中查找，是一个递归的过程
   

二叉排序树查找递归算法

BiTree SearchBST(BSTNode *T,elemType x)
{
//在根指针T所指二叉树中递归地查找某关键字等于
//key的数据元素,若查找成功,则返回指向该数据元素结点的指针,否则返回空指针
if ((T==NULL||(T->data==x)))  return(T);
else if (x< T->data)  
         return(SearchBST(T->lchild,x));
     else 
          return(SearchBST(T->rchild,x));
}

二叉排序树查找非递归算法

BSTNode SearchBST(BSTNode *T,elemType x)
{
	BSTNode *p=T;
	 while(p!=NULL)
 	  {
	   	if(x==p->data) 
   		return p;
   		else if(x<p->data)
        p=p->lchild;
         else
        p=p->rchild;
     }
   return p;
}

二叉排序树的插入

若关键字k小于根结点关键字，则插入左子树中，相反插入右子树中；一定插入了叶结点中

二叉排序树插入结点——递归算法

void  insertBST(BSTNode *T,BSTNode *s)
{ if(T==NULL) T=s;
  else if(s->data< p->data)  
            insertBST(T->lchild,s);
       else insertBST(T->rchild,s);
         }
   }

二叉排序树插入结点——非递归算法

void  InsertBST(BSTNode *T,elemType e)
{BSTNode *p=T,*s,*q;
 s=new BSTNode;s->data=e;
 s->rchild=s->lchild=NULL;
if(p==NULL) T=s;
 while(p!=NULL){ 
if(s->data<=p->data){ 
q=p;
              p=p->lchild;
      else{
q=p; 
              p=p->rchild;
}
     }
if(s->data<q->data)
q->lchild=s;
else             
q->rchild=s;  
  }

二叉排序树的删除

二叉排序树的删除：将单个元素删除，其他因为此删除的链再重新组合，确保性质不变
（1）若删除是叶结点，则直接删除
（2）若结点z只有一棵左子树或右子树，则让z的子树成为z父结点的子树，替代z位置

（3）若结点z有左右两棵子树，则令z的直接后继（或直接前驱）代替z，然后从二叉排序树中删除这个直接后继（或直接前驱）

6.二叉排序树的查找效率分析
（1）对于高度为H的二又排序树，其插入和删除操作的运行时间都是O(n)。但在最坏的情况下，构造二叉排序树的输入序列是有序的，则会形成一个倾斜的单支树，此时二叉排序树的性能显变坏，树的高度也增加为元素个数N，如下图所示：
在等概率情况下，图4-23（a）的查找成功的平均查找长度为
ASL=(1+2×2+3×4+4×3)/10=2.9
而图4-23（b）的查找成功的平均查找长度为
ASL=(1+2+3+4+5+6+7+8+9+10)/10=5.5

由上可知，二叉排序树查找算法的平均查找长度，主要取决于树的高度，即与二叉树的形态有关。如果二叉排序树是一个只有右（左）孩子的单支树（类似于有序的单键表），其平均查找长度和单链表相同，为O(n)。如果二义排序树的左、右子树的高度之差的绝对值不超过1，这样的二叉排序树称为平衡二叉树。它的平均查找长度达到 O(log2n)

二叉排序树与二分查找：从查找过程看，二叉排序树与二分查找相似。就平均时间性能而言，二叉排序树上的查找和二分查找差不多。但二分查找的判定树唯一，而二叉排序树不唯一，相同的关键字其插入顺序不同可能生成不同的二叉排序树，如上图所示；就维护表的有序性而言，二叉排序树无须移动结点，只需修改指针即可完成插入和删除操作，平均执行时间为 。二分查找的对象是有序顺序表，若有插入和删除结点的操作，所花的代价是O(n)。当有序表是静态查找表时，宜用顺序表作为其存储结构，而采用二分查找实现其查找操作；若有序表是动态查找表，则应选择二又排序树作为其逻辑结构

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总结

二叉排序树查找定义
二叉排序树构造
二叉排序树查找递归和非递归算法
二叉排序树插入递归和非递归算法
二叉排序树删除递归和非递归算法