9.19~9.20elf论文（浮点数的二进制表示&确定擦除尾随0的数量）

小数转二进制

 

小数部分呈6，2，4，8循环，则二进制序列为1001循环

小数点前的0应该没有任何用，就是表示这是个小数，第一位转化后如果是1，应该是在小数点后的第一位位置

原始小数（通过机制）——无限二进制序列——（逆过程）还原小数

对于逆过程，第2位为1，则2^2=4,取倒数与1乘，第5位为1，2^5=32,取倒数与1乘

精度越高，二进制序列存储长度越长，还原效果越好

二进制乘法

浮点数构造

浮点数64位，一位是符号位，11位是指数位，52位mantissa(尾数）

分别是啥？

科学计数法的指数位就是10的多少次幂

对于3，转为二进制为11，超过了1位（当前进制数），有一个2

二进制乘法和十进制不一样

十进制中小数点移动伴随着乘十或除十，二进制中小数点移动伴随着乘二除二，1.1x2^1，有乘2，就让小数点往前移，即（11）2，为（3）10.

小数点往前移几位，就表明当前进制的规模（指数位）是多大

101.0要往前移2位，则指数位就是2

二进制里的个还是那个个的意思吗？

是。（1.1）2个2，（1.1）2不是（1.1）10。十进制尾数进指数，就是小数点往前移一位，需要的是尾数大于进制

如果是二进制，就是说小数点前的数只能保持1位，小数点每往前移一位，就意味着除了一个2，就是当前指数规模扩大了一点。

8位指数位，2^8=256=128^2,加127就是说，把负数映射到0~127，把正数映射到128~256 

+127就是指数位第7位上加1

尾数真值=1+存储的尾数（即小数点后的部分）

浮点数精度和范围 

1.111111……=1+0.5+0.25+0.125…… 

尾数

（比如11，就是超过了10（当前进制数），就需要把这个10移到指数上（指数位的大小表示当前数的规模），尾数在10以内就表示当前这个数在当下这个规模的进制数还能表示，一旦尾数超过了10，就说明这个数在当下这个规模的进制数就不能表示了，这个数即超过了当前指数记录规模的最大范围，此时就需要指数位++,直到能用一个比进制小的尾数来表示这个数，也就更新好了进制数的范围）

（如111，就不能用10^1表示，因为超出了10^1所能表示的范围，需要10^2的规模才能表示这个数） 

小数点就是小数点，不会因为进制的改变而改变含义，只是小数点前面的数（那么多的数）用哪种进制表示而已，如果用十进制就是3，二进制就是11 

十进制的表示法，指数的底数就是10，二进制的底数，就是2

怎么理解？

科学计数法应该就是说，由多少组的10（一个进制）构成，拆出两部分就是具体是多少，一个小于进制的数，即尾数，用于精确到底是多少，一个当前进制的指数（即只能由进制组成，指数表示当前进制表示的规模（指数越大，规模越大，表示范围越大），多于进制的取模使进制的数量增加，并使多余部分进入尾数，少于的直接进入尾数）。

指数部分决定数的大小范围，有效数字

同样的数，指数越大，则用来表示的尾数越小，因为当前指数越大，规模越大，那么就不需要用很多当前这个规模的进制数；而如果指数越小，进制部分的规模就越小，尾数越大，表示需要多用当前小规模的进制组才能表示出这个数

而由于尾数部分不会超过进制，所以数的大小都由指数部分确定，即如果指数最大n位，则只能表示到当前进制^n^尾数最大（即当前进制数），再大就表示不了

二进制计数法，就是要尾数不大于2（当前进制数），尾数是小数，表示具体由多少个当前指数规模的2组成，

由尾数M和阶码E构成 

阶码是整数，则2^E就是整数，所以尾数M必须为小数才可以使F为小数

怎么使M为小数

MPN

什么是尾数前缀数MPN

就是给定两个双精度浮点数的尾数部分

如果两个数的尾数前半部分相同，但是有一个尾数的后部分都为0，那就把前半部分相同的位数称为尾数前缀数

尾数前缀搜索

目的是啥？

应该是为了确定到底是那部分尾数相同，就是说确定尾随0的数量

定理一（theorem)

给一个双精度的数，他的小数点后位数为α，二进制形式b，那么伊普西隆（00……。b-(f(α）……bl)就是比10^-α小，

它取得就是一个最小计数单元，它不管你用了多少个最小计数单元，就算是0.2，0.5，都是计0.1

伊普西隆是自小数点后f(α）位开始的，那伊普西隆肯定比0.f(α）小

fα是一个函数，=（α*3.32193）向上取整

十进制α与二进制的小数点后位数并不对应 

十进制中小数点后有α位，肯定并不意味着二进制小数点后有α位，如果十进制数的小数点后为α位，那么最小计数单元就是10^-α，其转为二进制就是

其在十进制中小数点后位数为α，即需要α位才能精确表示出这个数

如果转为二进制就需要位

比如0.1，为10^-α，α=1，十进制中需要一位才能精确表示

log2(10)就是说由1个多大指数规模的2才能恰好组成1个10 ，要一个2^3.32193……，三位不够，如果是小数部分，那就是三位还多，

如果二进制，（向上取整），需要4位。

这个意思应该是说，转化为二进制后，0.1的表示自二进制小数点后第4位开始表示，就是说，前面的位数都没有0.1的组成部分，自第4位开始之后，开始可以组成并参与构成0.1（原十进制最小单元）

但一定有，f(α）后面的所有加起来都不比f(α）的一个大。

就是0.5>=0.25+0.125+0.0625……

1>=0.5+0.25+0.125+……

如果是0.1，就是自第四位开始组成，但是第三位为0.125，0.1<0.125,如果是0.125，那么组成结果（f(α）位后开始逼近的序列）应为0.00011111111，但是0.1不是整好的二进制数，所以α位后面不全是1，即有间隔的1，不然就有可能超过0.1，即f(α）后面的逼近序列为1100 1100

为什么定理1成立？怎么保证f(α）后面的二进制数比10^-α小？

如果算上f(α)位，应该是不能保证。第f(α）位也参与构成最小单元，而且f(α）位上必为1（即f(α）位上记录的是小于目标数的最大的一个规整二进制数，其后面所有的二进制数加起来都不比这个二进制数大（最多相等），如果这个还不用，那就必不可能凑出）

所以定理一就是说的这个事，就是知道f(α）位参与构成这个最小计数单元（就比如是0.1），后面f(α）的序列也一定有1（即不能保证自f(α）后的求和就一定不大于0.1，因为原数可能为0.2，其最小计数单元还是0.1，这个0.1还是自二进制小数点后第4位开始计数，α=4，我就不能保证在用了不同的计数单元后，f(α)位后面的序列不变，就是其后面的1是会随着具体数而变化的（这是肯定的），就比如0.125，但是我舍弃掉f(α）位，那么就算后面的都是1，也大不过这个f(α）上的数字，所以就可以保证伊普西隆是一定小于10^-α的。

对于规整的二进制小数，这么理解f(α)会出问题？不对，怎么理解

不对，不该看整体是怎么存储的，是因为0.125，最小计数单元是0.01，所以目标变成了0.01，而不是0.125这个整体

0.125组成0.125，2个0.125组成0.25，2个0.25组成0.5，在二进制中没有0.01可以用，有的只是二进制的规整的数，不能用十进制的想法，对0.17，就是有一个0.125（介于1个0.125和2个0.125之间），然后剩下的继续用二进制数凑

那么擦除就是说

擦除的结果是，从某一位开始，后面的全是0，那就是说使之成为了一个标准的二进制数

那么就是怎么确定这个某一位

如3.17，最小计数单元为0.01，转为二进制，其想法就是用什么样的二进制数去凑这个0.01，这个二进制数必须要比0.01小，

这个就是找到了首个比0.01小的二进制数的位数（小数点后），其为0.00625，比0.01小的二进制数都加起来不一定也比0.01小，如果后面都是1，就是f(α）位的二倍（少个1，即如果最低位再有个1，就会形成连续进位，直到f(α）位），即0.0125

首先，3.17里肯定有0.01，那就可以拆出3.16+0.01 

自f(α）开始构成0.01，f(α）+1位的所有和

然后说把f(α）+1位及其后的所有位都置为0，只保留f(α）位，那就是说，f(α）位及其之后的数<=0.01(10^(-α）），就是近似表示了0.01，而且偏小，也就是在3.16的基础上，加了一个比0.01还小的数，但是，这样做转为二进制后就是个规整的二进制数，尾随0的数量多

可能3.16的部分也遭到了修改，但是可以保证修改的部分的和总是小于10^(-α）

再看0.125，其最小计数单元是0.001，就是0.124+0.001，那么就是把0.001给近似表示，使其从开始组成0.001的二进制位数的后一位开始都为0，也就是从那一位开始，是一个规整的二进制数

目的是，存储小数，

对任意一个十进制数（小数点后有α位）转为二进制数，小数点后保留l位（无限循环），那么构造伊普西隆为

相当于还是在原十进制中取数

1023是啥 ，1024是二的10次方

思路是，给定一个十进制数，找到其最小存储单元