OpenGL之变换

尽管我们现在已经知道了如何创建一个物体、着色、加入纹理，但因为它们都还是静态的物体，仍是不够有趣。我们可以尝试着在每一帧改变物体的顶点并且重配置缓冲区从而使它们移动，但这太繁琐了，而且会消耗很多的处理时间。我们现在有一个更好的解决方案，使用（多个）矩阵(Matrix)对象可以更好的变换(Transform)一个物体。

向量 

向量有一个方向和大小，也叫做强度或长度)。你可以把向量想像成一个藏宝图上的指示：“向左走10步，向北走3步，然后向右走5步”；“左”就是方向，“10步”就是向量的长度。那么这个藏宝图的指示一共有3个向量。向量可以在任意维度(Dimension)上，但是我们通常只使用2至4维。如果一个向量有2个维度，它表示一个平面的方向(想象一下2D的图像)，当它有3个维度的时候它可以表达一个3D世界的方向。

下面你会看到3个向量，每个向量在2D图像中都用一个箭头(x, y)表示。我们在2D图片中展示这些向量，因为这样子会更直观一点。你可以把这些2D向量当做z坐标为0的3D向量。由于向量表示的是方向，起始于何处并不会改变它的值。下图我们可以看到向量和是相等的，尽管他们的起始点不同：

当用在公式中时它们通常是这样的：

由于向量是一个方向，所以有些时候会很难形象地将它们用位置(Position)表示出来。为了让其更为直观，我们通常设定这个方向的原点为(0, 0, 0)，然后指向一个方向，对应一个点，使其变为位置向量(Position Vector)（你也可以把起点设置为其他的点，然后说：这个向量从这个点起始指向另一个点）。比如说位置向量(3, 5)在图像中的起点会是(0, 0)，并会指向(3, 5)。我们可以使用向量在2D或3D空间中表示方向与位置. 

向量与标量运算

标量(Scalar)只是一个数字（或者说是仅有一个分量的向量）。当把一个向量加/减/乘/除一个标量，我们可以简单的把向量的每个分量分别进行该运算。对于加法来说会像这样:

其中的+可以是+，-，·或÷，其中·是乘号。注意－和÷运算时不能颠倒（标量-/÷向量），因为颠倒的运算是没有定义的。

向量取反

对一个向量取反(Negate)会将其方向逆转。一个指向东北的向量取反后就指向西南方向了。我们在一个向量的每个分量前加负号就可以实现取反了（或者说用-1数乘该向量）:

 

向量加减

向量的加法可以被定义为是分量的(Component-wise)相加，即将一个向量中的每一个分量加上另一个向量的对应分量：

长度

我们使用勾股定理(Pythagoras Theorem)来获取向量的长度(Length)/大小(Magnitude)。如果你把向量的x与y分量画出来，该向量会和x与y分量为边形成一个三角形:

https://learnopengl-cn.github.io/img/01/07/vectors_triangle.png

有一个特殊类型的向量叫做单位向量(Unit Vector)。单位向量有一个特别的性质——它的长度是1。我们可以用任意向量的每个分量除以向量的长度得到它的单位向量：

我们把这种方法叫做一个向量的标准化(Normalizing)。单位向量头上有一个^样子的记号。通常单位向量会变得很有用，特别是在我们只关心方向不关心长度的时候（如果改变向量的长度，它的方向并不会改变）

向量相乘

两个向量相乘是一种很奇怪的情况。普通的乘法在向量上是没有定义的，因为它在视觉上是没有意义的。但是在相乘的时候我们有两种特定情况可以选择：一个是点乘(Dot Product)，记作，另一个是叉乘(Cross Product)，记作。

点乘

两个向量的点乘等于它们的数乘结果乘以两个向量之间夹角的余弦值。可能听起来有点费解，我们来看一下公式：

你也可以通过点乘的结果计算两个非单位向量的夹角，点乘的结果除以两个向量的长度之积，得到的结果就是夹角的余弦值，即。

译注：通过上面点乘定义式可推出

 

叉乘

叉乘只在3D空间中有定义，它需要两个不平行向量作为输入，生成一个正交于两个输入向量的第三个向量。如果输入的两个向量也是正交的，那么叉乘之后将会产生3个互相正交的向量。接下来的教程中这会非常有用。下面的图片展示了3D空间中叉乘的样子：

不同于其他运算，如果你没有钻研过线性代数，可能会觉得叉乘很反直觉，所以只记住公式就没问题啦（记不住也没问题）。下面你会看到两个正交向量A和B叉积：

矩阵

现在我们已经讨论了向量的全部内容，是时候看看矩阵了！简单来说矩阵就是一个矩形的数字、符号或表达式数组。矩阵中每一项叫做矩阵的元素(Element)。下面是一个2×3矩阵的例子：

矩阵的加减

矩阵与标量之间的加减定义如下：

标量值要加到矩阵的每一个元素上。矩阵与标量的减法也相似：

 矩阵与矩阵之间的加减就是两个矩阵对应元素的加减运算，所以总体的规则和与标量运算是差不多的，只不过在相同索引下的元素才能进行运算。这也就是说加法和减法只对同维度的矩阵才是有定义的。一个3×2矩阵和一个2×3矩阵（或一个3×3矩阵与4×4矩阵）是不能进行加减的。我们看看两个2×2矩阵是怎样相加的：

矩阵的数乘

和矩阵与标量的加减一样，矩阵与标量之间的乘法也是矩阵的每一个元素分别乘以该标量。下面的例子展示了乘法的过程：

现在我们也就能明白为什么这些单独的数字要叫做标量(Scalar)了。简单来说，标量就是用它的值缩放(Scale)矩阵的所有元素（译注：注意Scalar是由Scale + -ar演变过来的）。前面那个例子中，所有的元素都被放大了2倍。

到目前为止都还好，我们的例子都不复杂。不过矩阵与矩阵的乘法就不一样了。

矩阵相乘

矩阵之间的乘法不见得有多复杂，但的确很难让人适应。矩阵乘法基本上意味着遵照规定好的法则进行相乘。当然，相乘还有一些限制：

1. 只有当左侧矩阵的列数与右侧矩阵的行数相等，两个矩阵才能相乘。
2. 矩阵相乘不遵守交换律(Commutative)，也就是说A⋅B≠B⋅A。

我们先看一个两个2×2矩阵相乘的例子：

现在你可能会在想了：天哪，刚刚到底发生了什么? 矩阵的乘法是一系列乘法和加法组合的结果，它使用到了左侧矩阵的行和右侧矩阵的列。我们可以看下面的图片：

矩阵与向量相乘

目前为止，通过这些教程我们已经相当了解向量了。我们用向量来表示位置，表示颜色，甚至是纹理坐标。让我们更深入了解一下向量，它其实就是一个N×1矩阵，N表示向量分量的个数（也叫N维(N-dimensional)向量）。如果你仔细思考一下就会明白。向量和矩阵一样都是一个数字序列，但它只有1列。那么，这个新的定义对我们有什么帮助呢？如果我们有一个M×N矩阵，我们可以用这个矩阵乘以我们的N×1向量，因为这个矩阵的列数等于向量的行数，所以它们就能相乘。

但是为什么我们会关心矩阵能否乘以一个向量？好吧，正巧，很多有趣的2D/3D变换都可以放在一个矩阵中，用这个矩阵乘以我们的向量将变换(Transform)这个向量。如果你仍然有些困惑，我们来看一些例子，你很快就能明白了。

单位矩阵

在OpenGL中，由于某些原因我们通常使用4×4的变换矩阵，而其中最重要的原因就是大部分的向量都是4分量的。我们能想到的最简单的变换矩阵就是单位矩阵(Identity Matrix)。单位矩阵是一个除了对角线以外都是0的N×N矩阵。在下式中可以看到，这种变换矩阵使一个向量完全不变：

向量看起来完全没变。从乘法法则来看就很容易理解来：第一个结果元素是矩阵的第一行的每个元素乘以向量的每个对应元素。因为每行的元素除了第一个都是0，可得：1⋅1+0⋅2+0⋅3+0⋅4=11⋅1+0⋅2+0⋅3+0⋅4=1，向量的其他3个元素同理。

缩放

对一个向量进行缩放(Scaling)就是对向量的长度进行缩放，而保持它的方向不变。由于我们进行的是2维或3维操作，我们可以分别定义一个有2或3个缩放变量的向量，每个变量缩放一个轴(x、y或z)。

我们先来尝试缩放向量。我们可以把向量沿着x轴缩放0.5，使它的宽度缩小为原来的二分之一；我们将沿着y轴把向量的高度缩放为原来的两倍。我们看看把向量缩放(0.5, 2)倍所获得的是什么样的：

记住，OpenGL通常是在3D空间进行操作的，对于2D的情况我们可以把z轴缩放1倍，这样z轴的值就不变了。我们刚刚的缩放操作是不均匀(Non-uniform)缩放，因为每个轴的缩放因子(Scaling Factor)都不一样。如果每个轴的缩放因子都一样那么就叫均匀缩放(Uniform Scale)。

我们下面会构造一个变换矩阵来为我们提供缩放功能。我们从单位矩阵了解到，每个对角线元素会分别与向量的对应元素相乘。如果我们把1变为3会怎样？这样子的话，我们就把向量的每个元素乘以3了，这事实上就把向量缩放3倍。如果我们把缩放变量表示为(S1,S2,S3)我们可以为任意向量(x,y,z)定义一个缩放矩阵：

注意，第四个缩放向量仍然是1，因为在3D空间中缩放w分量是无意义的。w分量另有其他用途，在后面我们会看到。

位移

位移(Translation)是在原始向量的基础上加上另一个向量从而获得一个在不同位置的新向量的过程，从而在位移向量基础上移动了原始向量。我们已经讨论了向量加法，所以这应该不会太陌生。

和缩放矩阵一样，在4×4矩阵上有几个特别的位置用来执行特定的操作，对于位移来说它们是第四列最上面的3个值。如果我们把位移向量表示为，我们就能把位移矩阵定义为：

旋转

上面几个的变换内容相对容易理解，在2D或3D空间中也容易表示出来，但旋转(Rotation)稍复杂些。如果你想知道旋转矩阵是如何构造出来的，我推荐你去看可汗学院线性代数的视频。

首先我们来定义一个向量的旋转到底是什么。2D或3D空间中的旋转用角(Angle)来表示。角可以是角度制或弧度制的，周角是360角度或2 PI弧度。我个人更喜欢用角度，因为它们看起来更直观。

转半圈会旋转360/2 = 180度，向右旋转1/5圈表示向右旋转360/5 = 72度。下图中展示的2D向量是由向右旋转72度所得的

在3D空间中旋转需要定义一个角和一个旋转轴(Rotation Axis)。物体会沿着给定的旋转轴旋转特定角度。如果你想要更形象化的感受，可以试试向下看着一个特定的旋转轴，同时将你的头部旋转一定角度。当2D向量在3D空间中旋转时，我们把旋转轴设为z轴（尝试想象这种情况）。

使用三角学，给定一个角度，可以把一个向量变换为一个经过旋转的新向量。这通常是使用一系列正弦和余弦函数（一般简称sin和cos）各种巧妙的组合得到的。当然，讨论如何生成变换矩阵超出了这个教程的范围。

矩阵的组合

使用矩阵进行变换的真正力量在于，根据矩阵之间的乘法，我们可以把多个变换组合到一个矩阵中。让我们看看我们是否能生成一个变换矩阵，让它组合多个变换。假设我们有一个顶点(x, y, z)，我们希望将其缩放2倍，然后位移(1, 2, 3)个单位。我们需要一个位移和缩放矩阵来完成这些变换。结果的变换矩阵看起来像这样：

GLM

GLM是OpenGL Mathematics的缩写，它是一个只有头文件的库，也就是说我们只需包含对应的头文件就行了，不用链接和编译。GLM可以在它们的网站上下载。把头文件的根目录复制到你的includes文件夹，然后你就可以使用这个库了。

我们需要的GLM的大多数功能都可以从下面这3个头文件中找到：

#include 
#include 
#include 

我们来看看是否可以利用我们刚学的变换知识把一个向量(1, 0, 0)位移(1, 1, 0)个单位（注意，我们把它定义为一个glm::vec4类型的值，齐次坐标设定为1.0）:

glm::vec4 vec(1.0f, 0.0f, 0.0f, 1.0f);
// 译注：下面就是矩阵初始化的一个例子，如果使用的是0.9.9及以上版本
// 下面这行代码就需要改为:
// glm::mat4 trans = glm::mat4(1.0f)
// 之后将不再进行提示
glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(1.0f, 1.0f, 0.0f));
vec = trans * vec;
std::cout << vec.x << vec.y << vec.z << std::endl;

GLM内建的向量类定义一个叫做vec的向量。接下来定义一个mat4类型的trans，默认是一个4×4单位矩阵。下一步是创建一个变换矩阵，我们是把单位矩阵和一个位移向量传递给glm::translate函数来完成这个工作的（然后用给定的矩阵乘以位移矩阵就能获得最后需要的矩阵）。 之后我们把向量乘以位移矩阵并且输出最后的结果。如果你仍记得位移矩阵是如何工作的话，得到的向量应该是(1 + 1, 0 + 1, 0 + 0)，也就是(2, 1, 0)。这个代码片段将会输出210，所以这个位移矩阵是正确的。

我们来做些更有意思的事情，让我们来旋转和缩放之前教程中的那个箱子。首先我们把箱子逆时针旋转90度。然后缩放0.5倍，使它变成原来的一半大。我们先来创建变换矩阵：

glm::mat4 trans;
trans = glm::rotate(trans, glm::radians(90.0f), glm::vec3(0.0, 0.0, 1.0));
trans = glm::scale(trans, glm::vec3(0.5, 0.5, 0.5));

 如何把矩阵传递给着色器？我们在前面简单提到过GLSL里也有一个mat4类型。所以我们将修改顶点着色器让其接收一个mat4的uniform变量，然后再用矩阵uniform乘以位置向量：

#version 330 core
layout (location = 0) in vec3 aPos;
layout (location = 1) in vec2 aTexCoord;

out vec2 TexCoord;

uniform mat4 transform;

void main()
{
    gl_Position = transform * vec4(aPos, 1.0f);
    TexCoord = vec2(aTexCoord.x, 1.0 - aTexCoord.y);
}

在把位置向量传给gl_Position之前，我们先添加一个uniform，并且将其与变换矩阵相乘。我们的箱子现在应该是原来的二分之一大小并（向左）旋转了90度。当然，我们仍需要把变换矩阵传递给着色器：

unsigned int transformLoc = glGetUniformLocation(ourShader.ID, "transform");
glUniformMatrix4fv(transformLoc, 1, GL_FALSE, glm::value_ptr(trans));

我们首先查询uniform变量的地址，然后用有Matrix4fv后缀的glUniform函数把矩阵数据发送给着色器。第一个参数你现在应该很熟悉了，它是uniform的位置值。第二个参数告诉OpenGL我们将要发送多少个矩阵，这里是1。第三个参数询问我们是否希望对我们的矩阵进行转置(Transpose)，也就是说交换我们矩阵的行和列。OpenGL开发者通常使用一种内部矩阵布局，叫做列主序(Column-major Ordering)布局。GLM的默认布局就是列主序，所以并不需要转置矩阵，我们填GL_FALSE。最后一个参数是真正的矩阵数据，但是GLM并不是把它们的矩阵储存为OpenGL所希望接受的那种，因此我们要先用GLM的自带的函数value_ptr来变换这些数据。

我们创建了一个变换矩阵，在顶点着色器中声明了一个uniform，并把矩阵发送给了着色器，着色器会变换我们的顶点坐标。最后的结果应该看起来像这样：

完美！我们的箱子向左侧旋转，并是原来的一半大小，所以变换成功了。我们现在做些更有意思的，看看我们是否可以让箱子随着时间旋转，我们还会重新把箱子放在窗口的右下角。要让箱子随着时间推移旋转，我们必须在游戏循环中更新变换矩阵，因为它在每一次渲染迭代中都要更新。我们使用GLFW的时间函数来获取不同时间的角度：

glm::mat4 trans;
trans = glm::translate(trans, glm::vec3(0.5f, -0.5f, 0.0f));
trans = glm::rotate(trans, (float)glfwGetTime(), glm::vec3(0.0f, 0.0f, 1.0f));