Parseval’s theorem

一、Parseval’s theorem介绍

帕塞瓦尔定理Parseval’s theorem表明了信号的能量在时域和频域相等。

∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2   d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2   d ω = ∫ − ∞ ∞ ∣ F ^ ( f ) ∣ 2   d f \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} \mathrm{~d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^{2} \mathrm{~d} \omega=\int_{-\infty}^{\infty}|\hat{F}(f)|^{2} \mathrm{~d} f f(t)2 dt=2π1F(ω)2 dω=F^(f)2 df

对于两个不同的信号,与上式对应,一个相似的等式为

∫ − ∞ ∞ f i ( t ) f j ( t ) d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F i ( ω ) F j ∗ ( ω ) d ω \int_{-\infty}^{\infty} f_{i}(t) f_{j}(t) \mathrm{d} t=\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F_{i}(\omega) F_{j}^{*}(\omega) \mathrm{d} \omega fi(t)fj(t)dt=2π1Fi(ω)Fj(ω)dω

写成离散形式为:

∑ n = 0 N − 1 x [ n ] y ∗ [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] Y ∗ [ k ] \sum_{n=0}^{N-1} x[n] y^{*}[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] Y^{*}[k] n=0N1x[n]y[n]=N1k=0N1X[k]Y[k]

数学本质:矢量空间信号正交变换的范数不变性。

二、 Parseval’s theorem基本形式的证明

2.1连续信号

∫ − ∞ ∞ ∣ f ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ f ( t ) f ∗ ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ [ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) e j ω t d ω ] [ 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ∗ ( ω ′ ) e − j ω ′ t d ω ′ ] d t = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ∗ ( ω ′ ) [ ∫ − ∞ ∞ e j [ ω − ω ′ ] t d t ] d ω ′ d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ∗ ( ω ′ ) 2 π δ ( ω − ω ′ ) d ω ′ d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ F ( ω ) F ∗ ( ω ) d ω = 1 2 π ∫ − ∞ ∞ ∣ F ( ω ) ∣ 2 d ω \begin{aligned} & \int_{-\infty}^{\infty}|f(t)|^{2} d t \\ = & \int_{-\infty}^{\infty} f(t) f^{*}(t) d t \\ = & \int_{-\infty}^{\infty}\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) e^{j \omega t} d \omega\right]\left[\frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F^{*}\left(\omega^{\prime}\right) e^{-j \omega^{\prime} t} d \omega^{\prime}\right] d t \\ = & \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F^{*}\left(\omega^{\prime}\right)\left[\int_{-\infty}^{\infty} e^{j\left[\omega-\omega^{\prime}\right] t} d t\right] d \omega^{\prime} d \omega \\ = & \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F^{*}\left(\omega^{\prime}\right) 2 \pi \delta\left(\omega-\omega^{\prime}\right) d \omega^{\prime} d \omega \\ = & \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty} F(\omega) F^{*}(\omega) d \omega \\ = & \frac{1}{2 \pi} \int_{-\infty}^{\infty}|F(\omega)|^{2} d \omega \end{aligned} ======f(t)2dtf(t)f(t)dt[2π1F(ω)etdω][2π1F(ω)ejωtdω]dt2π1F(ω)2π1F(ω)[ej[ωω]tdt]dωdω2π1F(ω)2π1F(ω)2πδ(ωω)dωdω2π1F(ω)F(ω)dω2π1F(ω)2dω

换一种写法,结论是相似的

∫ − ∞ ∞ ∣ x ( t ) ∣ 2 d t = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) x ∗ ( t ) d t = ∫ − ∞ ∞ x ( t ) [ ∫ − ∞ ∞ X ∗ ( f ) e − j 2 π f t d f ] d t = ∫ − ∞ ∞ X ∗ ( f ) [ ∫ − ∞ ∞ x ( t ) e − j 2 π f t d t ] d f = ∫ − ∞ ∞ X ∗ ( f ) X ( f ) d f = ∫ − ∞ ∞ ∣ X ( f ) ∣ 2 d f \begin{aligned} &\int_{-\infty}^{\infty}|x(t)|^{2} d t \\ =& \int_{-\infty}^{\infty} x(t) x^{*}(t) d t \\ =&\int_{-\infty}^{\infty} x(t)\left[\int_{-\infty}^{\infty} X^{*}(f) e^{-j 2 \pi f t} d f\right] d t \\ =&\int_{-\infty}^{\infty} X^{*}(f)\left[\int_{-\infty}^{\infty} x(t) e^{-j 2 \pi f t} d t\right] d f \\ =&\int_{-\infty}^{\infty} X^{*}(f) X(f) d f \\ =&\int_{-\infty}^{\infty}|X(f)|^{2} d f \end{aligned} =====x(t)2dtx(t)x(t)dtx(t)[X(f)ej2πftdf]dtX(f)[x(t)ej2πftdt]dfX(f)X(f)dfX(f)2df

2.2离散信号

∑ n = 0 N − 1 x [ n ] y ∗ [ n ] = 1 N ∑ k = 0 N − 1 X [ k ] Y ∗ [ k ] = ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ( 1 N ∑ k = 0 N − 1 Y [ k ] W N − n k ) ∗ = 1 N ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] ( ∑ k = 0 N − 1 Y ∗ [ k ] W N n k ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 Y ∗ [ k ] ( ∑ n = 0 N − 1 x [ n ] W N n k ) = 1 N ∑ k = 0 N − 1 Y ∗ [ k ] X [ k ] \begin{array}{l} \sum_{n=0}^{N-1} x[n] y^{*}[n]=\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} X[k] Y^{*}[k] \\ =\sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y[k] W_{N}^{-n k}\right)^{*} \\ =\frac{1}{N} \sum_{n=0}^{N-1} x[n]\left(\sum_{k=0}^{N-1} Y^{*}[k] W_{N}^{n k}\right) \\ =\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y^{*}[k]\left(\sum_{n=0}^{N-1} x[n] W_{N}^{n k}\right) \\ =\frac{1}{N} \sum_{k=0}^{N-1} Y^{*}[k] X[k] \end{array} n=0N1x[n]y[n]=N1k=0N1X[k]Y[k]=n=0N1x[n](N1k=0N1Y[k]WNnk)=N1n=0N1x[n](k=0N1Y[k]WNnk)=N1k=0N1Y[k](n=0N1x[n]WNnk)=N1k=0N1Y[k]X[k]

三、MATLAB仿真验证

clc,clear;
T = 20;  dt = 0.001; t = dt:dt:T; N = size(t,2);  
fs = 1/dt;   ws = fs*2*pi; df = 1/T; dw = 2*pi*df;
s1 = exp(-0.2*t).*sin(2*pi*0.5*t); s2 = exp(-0.1*t).*sin(2*pi*0.6*t);
Us1 = fft(s1); Us2 = fft(s2);
Et11 = sum(s1.*s1)
Ew11 = sum(Us1.*conj(Us1))/N

Et12 = sum(s1.*s2)
Ew12 = sum(Us1.*conj(Us2))/N

​​
结果如图所示,可以验证公式准确性

​​Parseval’s theorem_第1张图片

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