数据结构与算法初阶6：树与二叉树基础知识精讲

       今天这一讲开始为大家分享关于数据结构与算法中树和二叉树的学习心得，在深入学习二叉树之前，我们需要认识理解并掌握树和二叉树相关基础知识，下面我们一起来认识吧。

目录

 1、树的基本概念、表示方法及运用场景

1.1 基本概念

1.2 表示方法*（非常重要！！！）

1.3 运用场景

 2、二叉树概念及相关特性

2.1 概念

2.1 .1基本概念

 2.1 .2特殊二叉树*(非常重要！！！)

2.2 性质*（非常重要！！！）

2.3 二叉树的存储结构 

2.3.1 顺序存储

2.3.2 链式存储

         2.4 二叉树基础知识练习

3、结语

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 1、树的基本概念、表示方法及运用场景

1.1 基本概念

       树是一种非线性的数据结构，其是由n个有限结点组成一个具有层次关系的集合。把它叫做树是因为它看起来就像一棵倒挂的树，但不同点在于：该“树”根部朝上，叶朝下。这是区别于现实中的树的一大不同特性，具体的特征描述如下：

1、有一个特殊的结点，称之为根结点，根节点没有前驱结点；

2、除根节点外，其余结点被分成M(M>0)个互不相交的集合T1、T2、……、Tm，其中每一个集合Ti(1<= i<= m)又是一棵结构与树类似的子树。每棵子树的根结点有且只有一个前驱，可以有0个或多个后继结点。

3、任何树可以分为根和子树，子树又可以分割为根和子树，继续向下按照同样的原理划分，为此，我们可以看出，数据结构中的树是递归定义的。

树形结构示意图

 注意：树形结构中，子树之间不能有交集，否则就不是树形结构。

树特性总结：

1、子树是不能相交的；

2、除了根结点以外，每个结点有且仅有一个父结点；

3、一颗N个结点的树有N-1条边。

树形结构错误范例

 树基础概念名词解释：

树基础概念举例说明

树基础名词	解释
结点的度	一个结点含有的子树的个数称为该结点的度； 如：上图中的A的度为5。
叶结点或终端结点	度为0的结点称之为叶结点； 如：上图中的B、F、G、I、J、L、M、N。
非终端结点或分支结点	度不为0的结点； 如：上图中的C、D、E、H、K。
双亲结点/父结点	若一个节点含有子节点，则这个节点称为其子节点的父节点； 如：上图中的A是B的父结点。
孩子结点/子结点	一个节点含有的子树的根节点称为该节点的子节点； 如：上图中的B是A的子结点。
兄弟结点	具有相同父节点的节点互称为兄弟节点； 如：上图中的B、C、D、E、F均是兄弟结点。
树的度	一棵树中，最大的节点的度称为树的度； 如：上图中的A结点相比其他结点，A的度最大是5，所以树的度是5。
结点的层次	从根开始定义起，根为第1层，根的子节点为第2层，以此类推。
树的高度或深度	树中结点的最大层次； 如：上图树的度是4。
堂兄弟结点	双亲在同一层的结点互为堂兄弟。 如：上图中的H结点和J、K两结点是堂兄弟。
结点的祖先	从根到该节点所经分支上的所有节点(有些地方会把自己定义为自己的祖先) 如：上图中A是所有结点的祖先。
子孙	以某节点为根的子树中任一节点都称为该节点的子孙； 如：上图中所有结点都是A的子孙。
森林	由m(m>0)棵互不相交的树的集合称为森林，即互相独立的树组成的集合。

其中：标红的名词是需要重点掌握的！！！ 

1.2 表示方法*（非常重要！！！）

       树结构的存储既要保存值域，也要保存结点和结点之间的关系。实际中主要有双亲表示法、孩子表示法、孩子双亲表示法以及孩子兄弟表达法等。在博主这里，主要带大家了解最常用的孩子兄弟表示法，即左孩子右兄弟表示法。

孩子兄弟表示法示意图

1.3 运用场景

树在实际中的运用：表示系统文件的目录树结构

 2、二叉树概念及相关特性

2.1 概念

2.1 .1基本概念

一颗二叉树是结点的一个有限集合，该集合包含两种情况：

1、或者为空；

2、由一个根结点加上两颗别称为左子树和右子树的二叉树组成。

二叉树组成示意图

 从上图中可以看出：

1、二叉树不存在度大于2的结点；

2、二叉树的子树有左右之分，次序不能颠倒，因此二叉树是有序树。

 注意：对于任意的二叉树都是由以下几种情况复合而成的：

 2.1 .2特殊二叉树*(非常重要！！！)

1、满二叉树

      一个二叉树，如果每一个层的结点数都达到最大值，则这个二叉树就是满二叉树。也就是说，如果一个二叉树的层数为K，且结点总数是2^k -1 ，则它就是满二叉树。

2、完全二叉树

      完全二叉树是效率很高的数据结构，完全二叉树是由满二叉树而引出来的。对于深度为K的，有n个结点的二叉树，当且仅当其每一个结点都与深度为K的满二叉树中编号从1至n的结点一一对应时称之为完全二叉树。 要注意的是满二叉树是一种特殊的完全二叉树。

 注意：通过上面的示意图可以很好的判断出满二叉树和完全二叉树的区别，但完全二叉树和非完全二叉树的判断主要考虑：结点对应的左子树如果为空，而结点对应的右子树不为空，那么一定就是非完全二叉树。

2.2 性质*（非常重要！！！）

1、若规定根结点的层数为1，则一颗非空二叉树的第i层上最多有2^(i-1)个结点；

2、若规定根结点的层数为1，则深度为h的二叉树的最大结点数是2^h -1；

3、对任意一颗二叉树，如果度为0其叶子结点个数为n0，度为2的分支结点个数为n2，则有n0=n2+1；

4、若规定根节点的层数为1，具有n个结点的满二叉树的深度，h= log2(n+1)。( log2(n+1)以2为底，n+1为对数)；

5、对于具有n个结点的完全二叉树，如果按照从上至下从左至右的数组顺序对所有节点从0开始编号，则对于序号为i的结点有：

     5.1. 若i>0，i位置节点的双亲序号：(i-1)/2；当i=0时，i表示根节点编号，无双亲节点；
     5.2. 若2i+1=n否则无左孩子；
     5.3. 若2i+2=n否则无右孩子；

6、总结上述：利用下标计算父子关系：

 leftchild = parent*2+1(如果左孩子存在)；rightchild = parent*2+2(如果右孩子存在)；

 父亲结点的计算统一为：parent =(child-1)/2。

2.3 二叉树的存储结构 

       二叉树一般可以使用两种结构存储，一种顺序结构存储，一种链式结构存储。其中顺序结构存储就是数组形式存储，一般适用于完全二叉树的情况，这样可以避免空间的浪费；链式存储适用于一般的二叉树的存储。

2.3.1 顺序存储

    如前所述，顺序结构存储就是使用数组来存储，一般使用数组只适合表示完全二叉树，因为不是完全二叉树会有空间的浪费。而现实中使用中只有堆才会使用数组来存储，关于堆我们后面的博客中会专门讲解。二叉树顺序存储在物理上是一个数组，在逻辑上是一颗二叉树。   

非完全二叉树采用顺序存储会存在空间浪费

2.3.2 链式存储

      二叉树的链式存储结构是指，用链表来表示一棵二叉树，即用链来指示元素的逻辑关系。 通常的方法是链表中每个结点由三个域组成，数据域和左右指针域，左右指针分别用来给出该结点左孩子和右孩子所在的链结点的存储地址 。链式结构又分为二叉链和三叉链，当前我们学习中主要使用二叉链，三叉链主要在高阶数据结构如红黑树等场景等使用。

     其实链式存储已经在1.2节进行了说明，博主采用的是常用的孩子兄弟表示法，示意如下所示：

//二叉链
//创建二叉树结构体
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* left;//指向当前结点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* right;//指向当前结点的右孩子
	BTDataType data;//当前结点值域
}BTNode;

//三叉链
//创建二叉树结构体
typedef int BTDataType;
typedef struct BinaryTreeNode
{
	struct BinaryTreeNode* parent;//指向当前结点的双亲
	struct BinaryTreeNode* left;//指向当前结点的左孩子
	struct BinaryTreeNode* right;//指向当前结点的右孩子
	BTDataType data;//当前结点值域
}BTNode;

       关于二叉树两种存储结构的用法及特性，由于涉及的知识点较多且复杂，所以博主计划在后面的博客中分章节为大家带来详细的讲解，欢迎大家持续关注！！！

 2.4 二叉树基础知识练习

练习题1：

1. 某二叉树共有 399 个结点，其中有 199 个度为 2 的结点，则该二叉树中的叶子结点数为（ ）。
A 不存在这样的二叉树
B 200
C 198
D 199

解析：根据2.2节利用度为0的叶子结点和度为2的叶子结点的公式：n0=n2+1；

           所以在本题中，叶子结点个数为：200个，即B选项正确。

练习题2：

2.在具有 2n 个结点的完全二叉树中，叶子结点个数为（ ）
A n
B n+1
C n-1
D n/2

解析：根据构成完全二叉树的条件我们可以知道：对于度为1的结点，在完全二叉树中，要么是0个，要么是1个，并且完全二叉树的结点组成是由度为0、度为1和度为2的结点组成，即：总结点数N=n0+n1+n2；又因为n0=n2+1，n1等于0或者1，所以：

1、当n1=0时，N=n0+n2=2*n0-1，可以推出：n0=(N+1)/2；

2、当n1=1时，N=n0+1+n2=2*n0，可以推出：n0=N/2；

结合此题分析：n0等于n或者(2n+1)/2，所以符合的选项是A。

练习题3：

3.一棵完全二叉树的节点数位为531个，那么这棵树的高度为（ ）
A 11
B 10
C 8
D 12
 

解析：假设是满二叉树时，也就是最多结点个数为：2^h -1；最小值也就是该完全二叉树的最后一层只有一个左结点，此时结点总数是：2^(h-1)-1+1=2^(h-1)；所以该完全二叉树的取值范围为：[2^(h-1)，2^h -1]。

结合题意，选择B选项。

练习题4：

4.一个具有767个节点的完全二叉树，其叶子节点个数为（）
A 383
B 384
C 385
D 386
 

解析：该题和第2题的思路一致，详细分析参考第2题：

           根据总结点数N=n0+n1+n2=2*n0+n1-1；n1取1或0。

           所以叶子结点个数为：B选择。

3、结语

        今天这一讲开始带着大家认识数据结构与算法中的树和二叉树，详细介绍了树和二叉树的基本概念及相关特性，关于二叉树详细的存储结构及特性将在后面的章节中讲解。欢迎大家点赞、关注、支持！！！