【数值计算方法】非线性方程（组）和最优化问题的计算方法：非线性方程式求根的二分法、迭代法、Newton 迭代法及其Python实现

目录

一、非线性方程式求根

1、二分法（Bisection Method、对分法）

a. 理论简介

b. python实现

2、迭代法（Iterative Method）

a. 理论简介

b. python实现

3、Newton 迭代法（Newton's Method）

a. 理论简介

b. python实现

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一、非线性方程式求根

        非线性方程举例：

        非线性方程式求根是一个重要的数值计算问题，常用的方法包括二分法、迭代法和牛顿迭代法。

1、二分法（Bisection Method、对分法）

a. 理论简介

（连续函数介值定理）

        二分法是一种简单而直观的求根方法，适用于单调函数的根。它的基本思想是通过不断缩小根所在区间来逼近根的位置。具体步骤如下：

• 首先，选择一个初始区间[a, b]，确保函数在这个区间内连续且函数值异号（即f(a) * f(b) < 0）。
• 然后，计算区间的中点c = (a + b) / 2，并计算函数在c处的值f(c)。
• 接下来，根据f(c)与0的关系，确定新的区间[a, c]或[c, b]，使得新的区间内仍满足函数值异号的条件。
• 重复上述步骤，直到满足预设的精度要求，即根的近似值落在所选区间内。

b. python实现

def f(x):
    return 5 * x**4 + 3 * x + 1

def bisection_method(a, b, tolerance=1e-6, max_iterations=100):
    if f(a) * f(b) >= 0:
        return None

    for _ in range(max_iterations):
        c = (a + b) / 2
        if abs(f(c)) < tolerance:
            return c

        if f(c) * f(a) < 0:
            b = c
        else:
            a = c

    return None

# 调用二分法求解方程的根
root = bisection_method(a=-1, b=0)
if root is not None:
    print("方程的一个根为:", root)
else:
    print("未找到方程的根")

注意，二分法要求初始区间[a, b]满足f(a) * f(b) < 0，即方程在区间的两个端点上取值异号。

输出：

a=-0.5, b=1

方程的一个根为: -0.36193275451660156

a=-1, b=0

未找到方程的根

2、迭代法（Iterative Method）

a. 理论简介

        迭代法是一种通过不断迭代逼近根的方法，适用于任意函数的根。它的基本思想是从一个初始的近似值开始，通过不断更新逼近根的位置，直到满足预设的精度要求。具体步骤如下：

• 首先，选择一个初始的近似值x0。
• 然后，根据迭代公式x[i+1] = g(x[i])，计算下一个近似值x[i+1]。
• 重复上述步骤，直到满足预设的精度要求，即近似值与根的差值足够小。

b. python实现

def g(x):
    return (-1) / (5 * x**3 + 3)

def iterative_method(initial_guess, tolerance=1e-6, max_iterations=100):
    x = initial_guess
    for _ in range(max_iterations):
        x_next = g(x)
        if abs(x_next - x) < tolerance:
            return x_next
        x = x_next
    return None

# 调用迭代法求解方程的根
root = iterative_method(initial_guess=0)
if root is not None:
    print("方程的一个根为:", root)
else:
    print("未找到方程的根")

注意，迭代法的收敛性与迭代函数的选择密切相关，对于某些函数可能无法收敛或者收敛速度很慢。

输出：

方程的一个根为: -0.36193292438672897

3、Newton 迭代法（Newton's Method）

a. 理论简介

        牛顿迭代法是一种快速收敛的求根方法，适用于光滑函数的根。它利用函数的局部线性近似来逼近根的位置。具体步骤如下：

• 首先，选择一个初始的近似值x0。
• 然后，根据牛顿迭代公式x[i+1] = x[i] - f(x[i]) / f'(x[i])，计算下一个近似值x[i+1]。
• 重复上述步骤，直到满足预设的精度要求，即近似值与根的差值足够小。

b. python实现

def f(x):
    return 5 * x**4 + 3 * x + 1

def f_prime(x):
    return 20 * x**3 + 3

def newton_method(initial_guess, tolerance=1e-6, max_iterations=100):
    x = initial_guess
    for _ in range(max_iterations):
        delta_x = f(x) / f_prime(x)
        x -= delta_x
        if abs(delta_x) < tolerance:
            return x
    return None

# 调用牛顿迭代法求解方程的根
root = newton_method(initial_guess=0)
if root is not None:
    print("方程的一个根为:", root)
    print(int(f(root)))
else:
    print("未找到方程的根")

注意，牛顿法要求2阶导不编号，1阶导不为0

输出：

方程的一个根为: -0.3619330489831212