近世代数笔记之半群

1. 半群判定：
   证明运算满足结合律
   证明它是一个半群经过满同态得到的代数系统
2. 循环半群：
   证明要点：找到生成元
3. 子半群：
   证明要点：非空、封闭
4. 理想：
   证明表达式

半群

定义

ps：独异点不是一个点，是一个半群，有单位元的半群

实例

1. 对任何一个正整数n，都恰好有一个含n个元素的半群，即模n半群
2. 单位元不是半群的固有性质

子半群

定义

证明子半群：

1. 非空子集
2. 运算封闭：任取a，b属于B，a*b仍属于B

实例

子半群的判别

预备知识

判别

注意点：保证封闭性

子半群的性质

注意事项：

1. 一个半群的任意两个子半群的交集不一定是该半群的子半群（不能保证非空）

生成子半群

联系关系的闭包
A要保证非空

理想

对于左理想：S左乘A的结果仍然属于A，对于SXS的左分量来说，A就是理想啊，使用一个子集就可以替代右分量S了
理想一定是子半群

生成的理想

循环半群

同态与同构

证明半群

代数系统满同态保持运算规律

同态合成

商半群

利用这样一个等价关系可以对S进行划分，得到商集 S/Ef，在这个商集上定义一个与S上运算有关的运算，可以对其做成一个商半群