高中奥数 2021-09-29

2021-09-29-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P053 习题07）

中,、分别为、中点,、为高,交于,、分别为三角形的外心与垂心.求证:.

图1

证明

由知、、、四点共圆.

所以.

又,,则,即、、、共圆.

图2

注意到由知、分别为、外接圆的直径.

过中点与中点分别为与的外心,且易知.

故只需证,只需证、为、外接圆的等幂点即可.

注意到为两圆公共点,而由、、、共圆知.

故也为等幂点.

综上所述,原命题成立.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P054 习题08）

已知圆与两条平行线和相切;第二个圆圆切于点,外切圆于点;第三个圆圆切于点,外切圆于点,外切圆于点,交于.求证:是的外心.

图3

证明

引理(字母与原题无关).如图,设、外切于点,直线,且切于点,切于点,那么、、三点共线.

图3

引理的证明:

、、共线.

回到原题,令与切于,与切于,由引理知,,共线,、、共线,而.故、、、四点共圆,由割线定理,,从而关于、等幂,所以在两圆的根轴上,所以直线为,的根轴,又与切于点,则为切线,即为两圆公切线,同理为与公切线,从而同时位于两个根轴上,所以为三圆根心.

图4

从而为、的公切线.,为外接圆圆心.

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（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆幂与根轴 P054 习题09）

设四边形的对角线交于点,点、分别是、的中点,点、(不重合)分别是与的垂心求证:.

证明

以为直径作圆交于,交于,那么,,从而有为、交点,显然,在以为圆心为半径(即以为直径)的上,在以为直径的上,因而,直线是、的根轴,直线是、的根轴.

图5

从而是、、的根心在、根轴上,同理可证,在、根轴上,故(根轴连心线).