微积分学习笔记（1）：函数基础

1 常量与变量

• 常量：不变的量，如$1，-3，5$
• 变量：可能变化的量，用$a、x$等表示

2 函数定义

$y=f(x)$

其中$x\in D$，对于每一个$x$，都有唯一的$y$与之对应，$x_1、x_2$的函数值可以相同，但同一个$x$，不能有多个$y$

3 函数相同

定义域和值域相同的函数，如：

• $ln{x}^2$
• $2lnx$

4 周期函数

$f(x+T)=f(x)，T为正数$

定理：如果$f(x)$的周期是T，则$f(ax)$的周期是$T/a$

5 奇函数与偶函数

• 奇函数：$f(-x)=f(x)$

• 偶函数：$f(-x)=f(x)$

• 奇函数与偶函数的定义域关于原点对称

• 奇函数图像关于原点对称

• 偶函数图像关于$Y$轴对称

6 单调函数

• 单调增函数：$x_1<x_2时，f(x_1)<f(x_2)$
• 单调减函数：$x_1<x_2时，f(x_1)>f(x_2)$
• 单调函数需要说明在某个定义域内的单调性

7 有界函数与无界函数

• 有界函数：$|f(x)|<=M$
• 无界函数：$任意给定M，一定存在x_0，使得f(x_0)>M$

8 反函数

$y=2x$的反函数是$x=y/2$，一般写作：$y=x/2$

• 反函数的定义域是原函数的值域
• 反函数的值域是原函数的定义域
• 原函数存在反函数的条件：定义域与值域一一对应

9 点斜式求线性函数方程

假设知道线性函数的：

• 斜率为$m$
• 一点坐标为$(x_0,y_0)$

则该线性方程为：

$$\frac{y-y_0}{x-x_0}=m$$

或者写为：

$$y-y_0=m(x-x_0)$$

或：

$$y=m(x-x_0)+y_0$$

10 有理函数

有理函数形如：

$$\frac{p(x)}{q(x)}$$

其中$p(x)$和$q(x)$均为多项式