微积分学习笔记(1):函数基础

1 常量与变量

  • 常量:不变的量,如 1 , − 3 , 5 1, -3, 5 135
  • 变量:可能变化的量,用 a 、 x a、x ax等表示

2 函数定义

y = f ( x ) y = f(x) y=f(x)

其中 x ∈ D x \in D xD,对于每一个 x x x,都有唯一 y y y与之对应, x 1 、 x 2 x_1、x_2 x1x2的函数值可以相同,但同一个 x x x,不能有多个 y y y

3 函数相同

定义域和值域相同的函数,如:

  • l n x 2 lnx^2 lnx2
  • 2 l n x 2lnx 2lnx

4 周期函数

f ( x + T ) = f ( x ) , T 为正数 f(x + T) = f(x),T为正数 f(x+T)=f(x)T为正数

定理:如果 f ( x ) f(x) f(x)的周期是T,则 f ( a x ) f(ax) f(ax)的周期是 T / a T/a T/a

5 奇函数与偶函数

  • 奇函数: f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(x)=f(x)

  • 偶函数: f ( − x ) = f ( x ) f(-x) = f(x) f(x)=f(x)

  • 奇函数与偶函数的定义域关于原点对称

  • 奇函数图像关于原点对称

  • 偶函数图像关于 Y Y Y轴对称

6 单调函数

  • 单调增函数: x 1 < x 2 时, f ( x 1 ) < f ( x 2 ) x_1 < x_2时,f(x_1) < f(x_2) x1<x2时,f(x1)<f(x2)
  • 单调减函数: x 1 < x 2 时, f ( x 1 ) > f ( x 2 ) x_1 < x_2时,f(x_1) > f(x_2) x1<x2时,f(x1)>f(x2)
  • 单调函数需要说明在某个定义域内的单调性

7 有界函数与无界函数

  • 有界函数: ∣ f ( x ) ∣ < = M |f(x)| <= M f(x)<=M
  • 无界函数: 任意给定 M ,一定存在 x 0 ,使得 f ( x 0 ) > M 任意给定M,一定存在x_0,使得f(x_0) > M 任意给定M,一定存在x0,使得f(x0)>M

8 反函数

y = 2 x y = 2x y=2x的反函数是 x = y / 2 x = y/2 x=y/2,一般写作: y = x / 2 y = x / 2 y=x/2

  • 反函数的定义域是原函数的值域
  • 反函数的值域是原函数的定义域
  • 原函数存在反函数的条件:定义域与值域一一对应

9 点斜式求线性函数方程

假设知道线性函数的:

  • 斜率为 m m m
  • 一点坐标为 ( x 0 , y 0 ) (x_0, y_0) (x0,y0)

则该线性方程为:

y − y 0 x − x 0 = m \frac{y - y_0}{x - x_0} = m xx0yy0=m

或者写为:

y − y 0 = m ( x − x 0 ) y - y_0 = m(x - x_0) yy0=m(xx0)

或:

y = m ( x − x 0 ) + y 0 y = m(x - x_0) + y_0 y=m(xx0)+y0

10 有理函数

有理函数形如:

p ( x ) q ( x ) \frac {p(x)}{q(x)} q(x)p(x)

其中 p ( x ) p(x) p(x) q ( x ) q(x) q(x)均为多项式

你可能感兴趣的:(数学基础,学习,笔记)