圆的面积和周长公式的推导

从小学开始，我们就接触了各种各样的图形，比如矩形（长方形）、正方形、三角形、梯形、平行四边形、圆等。这里，我们着重讲的是圆。3.1415926……，相信圆周率的前7位小数我们背的滚瓜烂熟了，要知道，它是无限不循环小数，也就是无理数。圆的面积公式和圆的周长公式（注：这里的a指的是圆的半径）我们也很熟知了。大学之后，我学了高等数学。很好奇这两个公式是怎么推导过来的。顺着好奇心，我用学过的高等数学知识一步步推导，终于知道了所以然了。

圆的方程我们都知道，高中数学就接触它了，就是，这里的a就是圆的半径，它恒大于零。由于圆是同时关于x轴对称和关于y轴对称的图形。我们只需求出在x轴上方，y轴右边，也就是x和y都大于或等于0的那部分四分之一圆的面积即可。然后，将四分之一圆的面积乘以4，就是圆的周长和面积了。

那么，怎么求四分之一圆的周长和面积呢？首先，由于x和y大于等于0，我们可以把公式变形，得到一个函数。其中，x的区间为[0,a]。

先看看圆的周长的推导。我们先求该函数的导数。该函数导数的推理如下：

然后，根据任意函数的弧长公式，就可以求出四分之一圆的周长了，推导如下：

然后，我们把得到的四分之一圆的周长乘以四倍，就得出了圆的周长公式了。就是

再看看圆的面积推导，我们知道定积分的几何定义是函数图形在[a,b]区间与y=a，y=b以及x轴围成的面积的代数和，此面积可能为负值。而我们的四分之一圆位于x轴上方，y轴右边，就不考虑负数的情况了。我们的四分之一圆位于区间[0,a]上，由此可知面积一定是正数，且全部面积都在x轴以上，因此，我们就不用考虑x轴以下的部分，只考虑x轴以上部分就可以了。下面就是求该四分之一圆的面积的过程。推导如下：

然后，我们把得到的四分之一圆的面积乘以四倍，就得出了圆的面积公式了。就是

亲爱的伙伴们，你们学会了吗？如果还有其他用高等数学微积分来推导圆的面积和周长的方法，也可以告诉我哦。谢谢！