CF probabilities 自制题单

CF probabilities

2000 ~ 2100

probilities - codeforces

1. Problem - 235B - Codeforces

不会写

随机生成长度为 $n(n\le 10^5)$ 的 $01$ 串，定义串的分数是所有连续的 $1$ 的长度平方和，比如 $1100111$ 的分数是 $2^2+3^2$. 每个位置生成 $1$ 的概率是 $p_i$. 问最后字符串的分数的期望.

可以转化成等价的组合问题. 对于每两个 $1$，如果其中间没有 $0$ 的话，对答案的贡献是 $2$. 对于每个单独的 $1$，对答案的贡献是 $1$. 证明很简单，就是对于一段长度为 $m$ 的连续的 $1$，其分数是 $2\ast C_m^2+m=m^2$. 然后就好算了，计算一下每个位置如果结尾是 $1$ 的话对答案的贡献即可.

2. Problem - 204C - Codeforces

给两个长度为 $n(n\le 2\times 10^5)$ 的字符串，从两个字符串中分别取出长度相同的子串 $x,y$，定义 $f(x,y)$ 的值为 $[x_i==y_i]$ 的个数. 每个 $(x,y)$ 都是等概率选取的. 求 $f(x,y)$ 的期望.

可以转化为组合问题. 对每个字符进行统计，对于字符串 $1$ 的某个字符 $c$，看在字符串 $2$ 的哪些位置出现过. 设 $c$ 在字符串 $1$ 中出现的位置是 $id$，则包含 $c$ 的字符串个数就是 $id\ast (n-id+1)$. 于是就和第二个字符串对比，看看 $c$ 在字符串 $2$ 出现的位置相对于 $1$ 靠前还是靠后讨论即可.

3. Problem - 1525E - Codeforces

不会写

给 $n(n\le 20)$ 个城市，$m(m\le 10^4)$ 个点，给出每个点到每个城市的距离，每秒钟随机占领一个之前未占领城市，从占领城市那一刻起，距离城市距离为1的点被打上标记，第二秒距离城市为 2 的点被打上标记. 问所有城市都被占领的时候，被打上标记的点的期望.

设 $E(j)$ 为第 $j$ 个点被占领的期望。则答案就是 $\sum _{j=1}^{m}E(j)$. 那么显然 $E(j)=P(j)$. $P(j)$ 计算比较复杂需要容斥，但是 $\overline{P(j)}$ 计算起来非常简单，我们只需要计算每个城市在多少秒之后占领后该点不会被覆盖，然后排个序。因为这些区间有规律，就是排完序之后，后面的区间一定覆盖前面的区间，因此直接累乘即可.

4. Problem - 1265E - Codeforces

看了提示

给 $n$ 个镜子，有一个人每天询问一个镜子，第 $i$ 个镜子会有 $p_i$ 的概率说美丽，$1-p_i$ 的概率说不美丽。如果说美丽，下一天就问第 $i+1$ 个镜子（如果 $i=n$ 的时候就停止询问）. 如果说不美丽，下一天就重新从第 $1$ 个镜子开始问. 问询问天数的期望.

其实就是在第 $i$ 个点，有 $p_i$ 的概率到第 $i+1$ 个点，有第 $1-p_i$ 的概率回到第 1 个点. 其实就是求从 $1$ 号点到 $n$ 号点的路径长度的期望.
那么
$$\begin{gathered} e_1=1+p_1\cdot e_2+(1-p_1)\cdot e_1 \\ {e}_2=1+p_2\cdot e_3+(1-p_2)\cdot e_1 \\ ... \\ {e}_n=1+p_n\cdot e_{n+1}+(1-p_n)\cdot e_1 \end{gathered}$$

可以接出来
$$e_1=\frac{1+p_1+p_1{p}_2+...+p_1{p}_2...p_{n-1}}{p_1{p}_2...p_n}$$

5. Problem - 1039B - Codeforces

交互题

给一个 $1\sim n(n\le 10^{18})$ 的数轴，有一个点在数轴上，每次可以询问一个区间 $[l,r]$，会回答这个点是否在这个区间之内。然后这个点随机移动不超过 $k(k\le 10)$ 步，会移动到 $\min (1,x-k)\sim \max (n,x+k)$ 之间. 现在问不超过 $4500$ 次，求那个点在哪个位置.

6. Problem - 1009E - Codeforces

数轴上从0出发到n，值为 $1\sim n-1$ 的点中均可以休息，也可以不休息。现在给定一个数组 a[ ]，a[i]表示走长度为i的距离的困难度（保证 $a[i+1]>a[i]$），设每种情况出现的可能性均相同，求所有可能性的期望困难度之和 $p\ast 2^{n-1}$。

组合计数即可，就是枚举每个位置取到 $a_1$ 有多少种情况，取到 $a_2$ 有多少种情况等。累加答案即可.

7. Problem - 912D - Codeforces

有 $n\times m(1\le n,m\le 10^5)$ 大小的池塘，每个格子最多放一个鱼，总共放 $k(k\le 10^5)$ 条鱼，现在给一张 $r\times r$ 的网，网随机投放。问怎样放鱼，可以使网捞上来的鱼的数量的期望最大。

这个期望就等于每个位置被覆盖的期望之和，等于每个位置被覆盖的概率之和. 然后就找最大的 $k$ 个位置就可以了. 其实非常简单，我想复杂了，根本不用复杂贪心，只需要把最中间的位置放在优先队列里面，然后一圈一圈往外扩就行。这个复杂度是可以保证的。因为先弹出来的点都是比较靠近中心的，他四周的点很可能已经被访问过了，所以能够进队的格点不会太多.

8. Problem - 870D - Codeforces

交互题

9. Problem - 859D - Codeforces

给 $2^n(2\le n\le 6)$ 个队伍，给出它们比赛的两两之间胜利的概率，每次比赛都可以赌哪支队伍获胜，使得获得的分数最多。有一个限制是选如果赌了一支队伍后后面每场比赛都要赌这支队伍。比赛总共进行 $n$ 轮，每轮第 $2i-1$ 支和第 $2i$ 支队伍比赛，第 $m$ 场比赛 猜对了可以获得 $2^{m-1}$ 分.

这个题和 Football 很像，可以设 $f(x,i)$ 为第 $x$ 支队伍在第 $i$ 轮获胜的概率. 那么每一轮比赛，此队伍的对手都可以事先知道. 然后从后往前算一遍就行了. 后面获胜概率大的队伍必选.

10. Problem - 452C - Codeforces

有 $m$ 副一样的扑克牌，每副扑克牌有 $n$ 张不同的牌 $(1\le n,m\le 10^3)$. 现在把他们混合后随机抽出来 $n$ 张，然后问有放回的随机抽两张，扑克牌相同的概率是多少.

这 $n$ 张牌都是一样的。比如计算扑克牌 $1$，枚举抽取的 $n$ 张牌中有多少张扑克牌 $1$.

最后答案就是 $\sum _{i=1}^{\min (n,m)}\frac{C_m^i{C}_{mn-m}^{n-i}}{C_{mn}^n}(\frac{i}{n}{)}^2$

但是这个题有一个问题就是答案输出的不是取模，而是小数。中间结果会出现 $10^6!$ 这么大的数字，浮点数存不下. 不过仍有一个办法，就是先取对数在求指数。至少在这个题，这么做的精度还是够的.

11. Problem - 268E - Codeforces

给 $n$ 个歌曲，第 $i$ 个歌曲的长度为 $l_i$，小明喜欢的概率是 $p_i$. 现在小明听歌，如果小明喜欢这首歌，就把它加入喜欢的列表中；否则，就从新把喜欢的歌听一遍再听下一首歌. 问怎样排序使得听歌时间的期望最大？求这个最大期望.

假设有 $l_1,p_1$ 和 $l_2,p_2$，按照 $(1-p_2)l_1{p}_1$ 降序排序即可. 然后第 $i$ 首个的贡献就是 $l_i+(1-p_i)\sum _{j=1}^{i-1}{l}_j\ast p_j$.

2200 ~ 2300

probilities - codeforces

1. Problem - 1245E - Codeforces

给一个 $10\times 10$ 的网格，一个人从下往上沿 $S$ 型往上走，每次可以掷色子，即等概率的走 $1\sim 6$ 步. 有一些网格点有梯子，可以直接上去不需要掷色子。但是注意一个回合只能走一个梯子，不可以连续走梯子。另外一个限制就是当剩余的格子小于所置的色子的点数时，就原地不动.

概率 $dp$ 裸题了，但是注意两个限制。由于不可以连续爬两个梯子，所以可以用 $f(i,2)$ 表示在 $i$ 号点是掷色子过来的还是爬梯子过来的。然后剩余格子不够的时候原地不动，设剩余 $x$ 个，则
$$d{p}_i=\frac{1}{6}\sum _{j=1}^{x}d{p}_j+\frac{6-x}{6}d{p}_i+1$$
移项就解决循环依赖问题了.

2. Problem - 1172C1 - Codeforces

看了提示
给 $n$ 张照片，第 $i$ 张照片的权重是 $w_i$，每张照片的有属性 $0/1$. $0$ 表示这个人不喜欢此照片，$1$ 表示这个人喜欢此照片。一个人有放回地随机抽取照片，第 $i$ 张照片抽到地概率是 $\frac{w_i}{{\sum }_{j=1}^n{w}_j}$. 若抽到喜欢的照片，把此照片权重+1，否则-1. 求抽取 $m$ 次后每张照片的权重的期望. $1\le n,m,w_i\le 50$.

设 $dp(w,i,j,k,t)$ 为权重为 $w$，类型为 $t$，操作了 $i$ 次，不喜欢照片权重的总和为 $-j+S0$，喜欢照片权重总和为 $k+S1$. 然后很容易列出来状态转移方程，就写完了.

3. Problem - 1156F - Codeforces

看了提示

有 $n(2\le 5000)$ 张牌，第 $i$ 张牌上写 $a_i$，每次随机抽取一张牌 $x$ 和上一张牌 $y$ 比较，如果 $x<y$，游戏失败并结束；如果 $x=y$ 游戏胜利并结束；如果 $x>y$，游戏继续；若没有牌则游戏失败. 问游戏胜利概率.

设 $f(i,j)$ 为抽 $i$ 张牌，最后一张牌抽的是 $j$ 的概率. 那么 $f(i,j)=\sum _{k=1}^{j-1}f(i-1,k)\times \frac{s{z}_j}{n-i+1}$.

4. Problem - 1151F - Codeforces

不会写

给一个长度为 $n(n\le 100)$ 的 $0/1$ 串，进行 $k(k\le 10^9)$ 次操作，每次操作选择两个位置 $i,j(1\le i<j\le n)$，交换 $i,j$ 上的数，求 $k$ 次操作后，该 $0/1$ 串变成非降序列的概率，答案对 $10^9+7$ 取模。

设该序列有 $cur$ 个 $0$，设 $dp(i,j)$ 为第 $i$ 次操作的时候，前 $cur$ 有 $j$ 个 $0$ 的方案数，很容易写出递推方程

$$\begin{gathered} dp(i,j)+=dp(i-1,j-1)\ast (cur-(j-1){)}^2 \\ dp(i,j)+=dp(i-1,j)\ast (C_{cur}^2+C_{n-cur}^2+j\ast (cur-j)+(cur-j)\ast (n+j-2\ast cur)) \\ dp(i,j)+=dp(i-1,j+1)\ast (j+1)\ast (n+(j+1)-2\ast cur) \end{gathered}$$

有了线性递推式子后，用一个快速幂转移即可。注意下标是从 0 开始的，因为 $dp(i,0)$ 是有意义的.

5. Problem - 1139D - Codeforces

不会写

给一个数列，每次随机选一个 $1$ 到 $m$ 之间的数加在数列末尾，数列中所有数的 $\gcd =1$ 时停止，求期望长度。$m\le 10^5$

设 $dp(x)$ 为现在手里的序列的最大公约数是 $x$，后面可以接数字个数的期望，则
$$\begin{gathered} dp(x)=1+\sum _{i=1}^m\frac{\gcd (i,x)}{m} \\ =1+\sum _{d|x}\sum _{i=1}^{m/d}[\gcd (i,x/d)=1]. \end{gathered}$$
于是这个就枚举一下 $x$ 的因数，然后将 x / d 分解质因数，容斥原理弄一下就出来了.

6. Problem - 1097D - Codeforces

不会写

给定 $n,k$，一共会进行 $k$ 次操作，每次操作会把 $n$ 等概率的变成 $n$ 的某个约数。求操作 $k$ 次后 $n$ 的期望是多少，答案对 $10^9+7$ 取模。$1\le n\le 10^{15},1\le k\le 10^4$

如果该数字是 $p^{\alpha }$ 这种形式，那么就可以令 $dp(i,j)$ 为操作了 $i$ 次后，次数为 $j$ 的期望. 可以证明 $E(n)$ 是一个积性函数，就可以先把 $n$ 分解质因数，然后把各自的答案乘起来就好了.

7. Problem - 1096F - Codeforces

看了提示
给你一个长为 $n$ 的排列，若某一位为 $-1$, 则这一位是不确定的。每种可能的排列出现的概率相等。求期望逆序对数对 $998244353$ 取模的结果。

首先考虑如果全是 $-1$ 的话怎么求。考虑每个 $(i,j)$ 的贡献，是 $\frac{1}{2}$. 那么总的期望就是所有的 pair 的期望之和。所以就是 $\frac{n(n-1)}{4}$.

那么可以把这个分为三部分，已知数字与已知数字之间的逆序对，已知数字和未知数字之间的逆序对，未知数字和未知数字之间的逆序对。情况一和情况三都好求。

至于情况二，计算每个已知数字后面填比它小的数字概率，前面填比它大的数字概率，把这些情况加起来就行了.

8. Problem - 1045D - Codeforces

9. Problem - 1042E - Codeforces

看了提示
一个 $n$ 行 $m$ 列的矩阵,每个位置有权值 $a_{i,j}$. 给定一个出发点, 每次可以等概率的移动到一个权值小于当前点权值的点, 同时得分加上两个点之间欧几里得距离的平方 ( 欧几里得距离: $\sqrt{(x_1-x_2{)}^2+(y_1-y_2{)}^2}$ ), 问得分的期望.

可以 $x$ 轴和 $y$ 轴分开看. 把所有的数字放在一个数组里面，然后排序，$\sum _{j=1}^{id}(x_j-x_i{)}^2=\sum _{j=1}^{id}{x}_j^2+2x_i\sum _{j=1}^{id}{x}_j+id\ast (x_i{)}^2$. 然后把这三个部分分别计算就可以了，打一个一次方前缀和和二次方前缀和就可以了.

10. Problem - 908D - Codeforces

看了提示

给三个数字 $k,pa,pb(1\le k\le 1000,1\le p_a,p_b\le 10^6)$，生成一个序列，一开始为空，每次有 $\frac{p_a}{p_a+p_b}$ 的概率往后面填一个 a，$\frac{p_b}{p_a+p_b}$ 的概率往后面填一个 b. 当出现了至少 $k$ 个形如 $ab$ 的子序列（不用连续）时停止。求最后 $ab$ 序列数量的期望数。

很容易想到一个设计状态，就是 $dp(i,j)$ 表示前面有 $i$ 个 $a$，已经有了 $j$ 个 $ab$，那么有
$$dp(i,j)=\frac{p_a}{p_a+p_b}dp(i+1,j)+\frac{p_b}{p_a+p_b}dp(i,j+i)$$

当然需要解决两个问题，一个就是 $i$ 一直增大， 这个东西会收敛，其实就是当 $i+j\ge k$ 的时候，再加一个 $b$ 就会解决掉，其实就是 $dp(i,j)=\frac{p_b}{p_a+p_b}\sum _{x=0}^{\infty }(i+j+x)(\frac{p_a}{p_a+p_b}{)}^x$. 这个用错位相减就可以接出来通项公式，即 $dp(i+j)=i+j+\frac{p_a}{p_b}$.

第二个就是当前面没有 $a$ 一直加 $b$ 情况。$dp(0,0)=\frac{p_a}{p_a+pb}dp(1,0)+\frac{p_b}{p_a+p_b}dp(0,0)$. 移项就可以解决循环依赖问题。

最后答案就是 $dp(0,0)$.

11. Problem - 895E - Codeforces

给一个长度为 $n(2\le n\le 10^5)$ 的序列，有 $q(q\le 10^5)$ 个操作：

1. 给两个不相交的区间 $[l_1,r_1],[l_2,r_2]$，分别从两个区间中随机选择一个数字交换
2. 问 $[l,r]$ 的区间和的期望是多少

操作两个区间，相当于每个数字乘 $\frac{r-l}{r-l+1}$，然后加上另一个区间的均值乘 $\frac{1}{r-l+1}$. 用一个线段树，实现区间加或乘同一个数就好.

12. Problem - 768F - Codeforces

有 $w$ 箱酒，$f$ 箱食物。现在要把这些箱子摞成相邻的若干堆，要求每一堆都必须是同类型的箱子，且相邻堆类型不同。堆的高度定义为所有的箱子数。问所有用酒箱子做成的堆高度都大于 $h$ 的概率。每种合法安排方式都是等概率发生. $w,f,h\le 10^5$

13. Problem - 768D - Codeforces

一个人要取 $n$ 种物品，一天只能等概率地取一件物品，但不能确定取到的是哪种物品，求每种物品都至少取一种的概率不小于 $(p/2000)$ 的天数.

14. Problem - 711E - Codeforces

求一年有 $2^n$ 天，$k$ 个人出现两人生日相同的可能性是多少。

15. Problem - 678E - Codeforces

你是一位骑士，与其他n-1个骑士同时爱上了LKJ，所以你们不得不通过决斗的方式来选出谁能最终得到LKJ。

幸运的是你知道任意骑士i击败骑士j的概率，你还被推选为组织委员。决斗一开始你需要任意选择两名骑士（包括自己）进行决斗，胜利方继续和你另外选择的一名骑士决斗，直到仅剩一人，最终的胜利者将得到LKJ。

你非常渴望取得胜利，想知道自己得到LKJ的最大概率是多少，注意你是1号。

第一行一个正整数 $n$，表示一共有 $n$ 名骑士。

接下来是一个 $n\ast n$ 的实数矩阵，$A_{ij}$. 表示 $i$ 战胜 $j$ 的概率。保证 $A_{ii}$ 为 0，且 $A_{ij}+A_{ji}=1$

16. Problem - 601C - Codeforces

$m$ 个人参加 $n$ 项比赛。每场比赛有一个分值，在 $[1,m]$ 之间，且同一场比赛每个人的得分两两不同。总分为每场比赛得分之和。有一个人，给出他每场比赛的得分 $c_i$. 求这个人总分排名（第几小）的期望值。排名的定义为 $1+k$， $k$ 表示总分严格比他低的人数. $n\le 100$，$m\le 10^3$

17. Problem - 596D - Codeforces

有 $n$ 课树并排排列，每棵树高hh。每次从剩余的树中选最左边的或最右边的（概率相等为0.5），砍掉一棵树，树倒向左边的概率为 $p$，倒向右边的概率为 $1-p$。如果树和相邻树的距离小于 $h$，树倒时会把相邻的树撞倒，倒的方向和撞到它的树一致。问，砍完所有树，树干覆盖的草地长度的期望值。