最小割 ---- 2021 ccpc 威海 H city-safety(最大利润 = 最大收益 - 最小花费(最小割))

题目链接

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题目大意：

一棵树，加强第 $i$ 个点有 $w_i$ 的花费，而如果距离某
个点 $\le p$ 的所有点都加强了，则会有 $v_p$ 的收益，求最大净收益。

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解题思路：

树形dp做法想不明白为啥是对的？？qwq
大佬的代码仅供参考，有看懂的聚聚留言qwq

#include
using namespace std;
typedef long long ll;

int main() {
    ios::sync_with_stdio(0);cin.tie(0);cout.tie(0);
    int n;
    cin >> n;
    vector<int> a(n), b(n);
    for(int i = 0; i < n; ++i) cin >> a[i];
    for(int i = 0; i < n; ++i) cin >> b[i];
    vector<vector<int>> g(n);
    for(int i = 1; i < n; ++i) {
        int u, v;
        cin >> u >> v;
        --u, --v;
        g[u].push_back(v);
        g[v].push_back(u);
    }
    vector<vector<int>> dp(n, vector<int>(n + 1, -1e9));
    function<void(int,int)> dfs = [&](int u, int fa) {
        dp[u][0] = 0;
        for(int i = 1; i <= n; ++i) {
            dp[u][i] = b[i - 1] - a[u];
        }
        for(int v : g[u]) {
            if(v == fa) continue;
            dfs(v, u);
            vector<int> ndp(n + 1, -1e9);
            for(int q = 0; q <= n; ++q) {
                // dp[u][q]: 和 u 距离小于 q 的点都被选择了
                // 那么对于 v 来说，和 v 距离小于 q - 1 的点显然必须被选择
                for(int p = max(0, q - 1); p <= min(n, q + 1); ++p) {
                     if(1) ndp[q] = max(ndp[q], dp[v][p] + dp[u][q]);
                     else ndp[q] = max(ndp[q],dp[u][q]);
                }
            }
            dp[u] = ndp;
        }
    };
    dfs(0, -1);
    cout << *max_element(dp[0].begin(), dp[0].end()) << '\n';
}

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最小割模型

首先我们先把所有的收益全部加上去。现在就是要花费最小？
我们看$n=200$非常小，可以往网络流方向想，因为要花费最小，那么可以转成最小割去求

• 左边的点 $v_{i,p}$ 表示距离第 $i$ 个点 $\le p$ 的所有点全选
• 右边的点 $ui$ 表示原图的点 $i$
• 源点连向每个 $v_{i,p}$，容量为增量收益 $v_{i,p}-v_{i,p-1}$，割掉这条边表示放弃这个增量收益
• 每个 $v_{i,p}$ 连向右边距离 $i$ 为 $p$ 的点，容量为无穷大
• 每个 $v_{i,p}$ 连向 $v_{i,p-1}$，容量为无穷大，这样使得 $v_{i,p}$ 间接连
• 向与 $i$ 距离 $<p$ 的点，用来限制放弃收益必须按 $p$ 从大到小放弃
• 右边每个点连向汇点，容量为选这个点的代价，割掉这条边
  表示付出这个点的代价
• 答案减去最小割。

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AC code

#include 
#define mid ((l + r) >> 1)
#define Lson rt << 1, l , mid
#define Rson rt << 1|1, mid + 1, r
#define ms(a,al) memset(a,al,sizeof(a))
#define log2(a) log(a)/log(2)
#define lowbit(x) ((-x) & x)
#define IOS std::ios::sync_with_stdio(0); cin.tie(0); cout.tie(0)
#define INF 0x3f3f3f3f
#define LLF 0x3f3f3f3f3f3f3f3f
#define f first
#define s second
#define endl '\n'
using namespace std;
const int N = 2e6 + 10, mod = 1e9 + 9;
const int maxn = 6e6 + 10;
const long double eps = 1e-5;
const int EPS = 500 * 500;
typedef long long ll;
typedef unsigned long long ull;
typedef pair<int,int> PII;
typedef pair<ll,ll> PLL;
typedef pair<double,double> PDD;
template<typename T> void read(T &x) {
   x = 0;char ch = getchar();ll f = 1;
   while(!isdigit(ch)){if(ch == '-')f*=-1;ch=getchar();}
   while(isdigit(ch)){x = x*10+ch-48;ch=getchar();}x*=f;
}
template<typename T, typename... Args> void read(T &first, Args& ... args) {
   read(first);
   read(args...);
}

int n, m, s, t;
struct node {
   int to, nxt, len;
}e[maxn];

int head[maxn], cnt;

inline void add(int from, int to, int len) {
   e[cnt] = {to,head[from],len};
   head[from] = cnt ++;
   e[cnt] = {from,head[to],0};
   head[to] = cnt ++;
}

int d[maxn], cur[maxn];

bool bfs() {
   ms(d,0);
   queue<int> q;
   q.push(s);
   d[s] = 1;
   while(!q.empty()) {
      int u = q.front();
      q.pop();
      for(int i = head[u]; ~i; i = e[i].nxt) {
         int v = e[i].to;
         if(d[v] || e[i].len <= 0) continue;
         q.push(v);
         d[v] = d[u] + 1; 
      }
   }
   for(int i = 0; i <= t; ++ i) cur[i] = head[i];
   return d[t] != 0;
}

int dfs(int u, int flow) {
   if(u == t) return flow;
   for(int &i = cur[u]; ~i; i = e[i].nxt) {
      int v = e[i].to;
      if(d[u] + 1 != d[v] || e[i].len <= 0) continue;
      int delta = dfs(v,min(flow,e[i].len));
      if(delta <= 0) continue;
      e[i].len -= delta;
      e[i^1].len += delta;
      return delta;
   }
   return 0;
}

inline ll get_maxflow() {
   ll maxflow = 0, delta = 0;
   while(bfs()) {
      while(delta = dfs(s,INF)) {
         maxflow += delta;
      }
   }
   return maxflow;
}

int w[202], v[202];
int G[202][202];
int poiidx[202];
int vipidx[202][202];
int idx;
int main() {
    IOS;
    ms(G,INF);
    ms(head,-1);
    cin >> n;
    for(int i = 1; i <= n; ++ i) cin >> w[i], G[i][i] = 0;
    for(int i = 0; i < n; ++ i) cin >> v[i];
    for(int i = 1; i < n; ++ i) {
       int u, v;
       cin >> u >> v;
       G[u][v] = G[v][u] = 1; 
    }
    for(int k = 1; k <= n; ++ k)
       for(int i = 1; i <= n; ++ i)
         for(int j = 1; j <= n; ++ j)
           G[i][j] = min(G[i][k]+G[k][j],G[i][j]);
   s = 0;
   for(int i = 1; i <= n; ++ i) poiidx[i] = ++ idx;
   for(int i = 1; i <= n; ++ i) 
      for(int p = 0; p < n; ++ p)
         vipidx[i][p] = ++ idx;
   t = ++ idx;
   for(int i = 1; i <= n; ++ i)
      for(int p = 0; p < n; ++ p) {
         add(s,vipidx[i][p],p?(v[p]-v[p-1]):(v[p]));
         if(p!=0) add(vipidx[i][p],vipidx[i][p-1],INF);
      } 
   for(int i = 1; i <= n; ++ i) add(poiidx[i],t,w[i]);
   for(int i = 1; i <= n; ++ i) 
      for(int j = 1; j <= n; ++ j) {
         int dist = G[i][j];
         add(vipidx[i][dist],poiidx[j],INF);
      }
   int ans = n*v[n-1];
   cout << ans - get_maxflow();
   return 0; 
}