对图像进行二维傅立叶变换的意义

        众所周至，傅立叶变换可以将连续或离散的函数序列从空域映射到频域上，因此，傅立叶变换是信息与信号学中不可获缺的强大工具。但是，由于傅立叶变换在学习时是以一大堆公式的形式给出的，因此很多人（包括我在内）往往在做了一大堆习题掌握了变换的数学表示却对其变换后的物理意义一无所知，尤其是自学的时候更是晕头转向。首先，这篇文章不是教程，仅仅是记下一些体会与大家分享，如果我的理解有错误希望“老鸟”指正，以免误导读这篇Blog的读者。

        这里假设大家对傅立叶变换的数学表示已经很熟悉了，撇开傅立叶变换本身和其在其他领域的应用不谈，只谈图像傅立叶变换前后的对应关系。我们知道傅立叶变换以前，图像（未压缩的位图）是由对在连续空间（现实空间）上的采样得到一系列点的集合，我们习惯用一个二维矩阵表示空间上各点，则图像可由z=f(x,y)来表示。由于空间是三维的，图像是二维的，因此空间中物体在另一个维度上的关系就由梯度来表示，这样我们可以通过观察图像得知物体在三维空间中的对应关系。为什么要提梯度？因为实际上对图像进行二维傅立叶变换得到频谱图，就是图像梯度的分布图，当然频谱图上的各点与图像上各点并不存在一一对应的关系，即使在不移频的情况下也是没有。傅立叶频谱图上我们看到的明暗不一的亮点，实际上图像上某一点与邻域点差异的强弱，即梯度的大小，也即该点的频率的大小（可以这么理解，图像中的低频部分指低梯度的点，高频部分相反）。一般来讲，梯度大则该点的亮度强，否则该点亮度弱。这样通过观察傅立叶变换后的频谱图，也叫功率图（看看频谱图的各点的计算公式就知道为什么叫功率图了:)），我们首先就可以看出，图像的能量分布，如果频谱图中暗的点数更多，那么实际图像是比较柔和的（因为各点与邻域差异都不大，梯度相对较小），反之，如果频谱图中亮的点数多，那么实际图像一定是尖锐的，边界分明且边界两边像素差异较大的。对频谱移频到原点以后，可以看出图像的频率分布是以原点为圆心，对称分布的。将频谱移频到圆心除了可以清晰地看出图像频率分布以外，还有一个好处，它可以分离出有周期性规律的干扰信号，比如正玄(sin的正玄，找不到这个字,郁闷)干扰，一副带有正玄干扰，移频到原点的频谱图上可以看出除了中心以外还存在以某一点为中心，对称分布的亮点集合，这个集合就是干扰噪音产生的，这时可以很直观的通过在该位置放置带阻滤波器消除干扰