数学对象是否存在？（1）

文/叶峰

数学对象指的是数学中研究的数、函数、集合等等。关于数学对象的本体论问题，简单地说就是：数、函数、集合等数学对象是否真实存在？是否独立于我们的思维和语言而存在？

这其实包含两个问题：一个简单地问数学对象是否存在，另一个问题，如果它们存在的话，它们是否为独立于我们的思维和语言的存在物。

为了解释这何以会成为一个问题，首先需要区分两个概念：具体对象（或具体事物，具体实体)与抽象对象（或抽象事物，抽象实体）。具体对象指的是存在于宇宙时空中的对象。从我们周围的物体到自然科学中研究的电子、原子、遥远的星球等，都是具体对象。

如果数学家所说的数、函数、集合等也是作为对象客观存在的话，那么它们应该不是具体对象，因为它们显然不存在于宇宙时空之中。抽象对象指的是那些不存在于宇宙时空之中的对象，假设果真有这样的对象，而且假设“存在但又不存在于宇宙时空之中”这个说法是有意义的。

比如，自然数2、实数π、空集、一个实函数、某个拓扑空间或代数结构、一个无穷基数等等，如果它们是一个个客观地存在着的个体对象，那么它们就应该是所谓抽象对象。

有人可能会怀疑“抽象对象”这个概念是否有意义，即怀疑“存在但又不存在于宇宙时空之中”这个说法是否有意义。

如果你对上面的数学本体论问题的回答是肯定的，那么你应该已经假设了“抽象对象”这个概念是有意义的，至少，你所认为的存在着的数学对象是抽象对象。而如果你认为“抽象对象”这个哲学概念本身不够清晰，甚至无意义，那么你对数学本体论问题的回答也许是否定的。

这时，你可以不必诉诸“抽象对象”这个哲学概念来表达你的哲学观点。比如，你可以说，数学中的词项“自然数2”、“实数π”等并不指称什么对象，数学定理并不是在陈述关于对象的事实。

也许多数人（包括多数数学家）天然地相信，数学理论是在描述一个独立于我们的思想的、客观的数学世界。它意味着，自然数、实数、函数、集合等等，都是在某种意义上独立于我们的思想的客观存在物，就像星球、原子、电子等是独立于我们思想的客观存在物，虽然数学对象不存在于宇宙时空之中，因此是所谓抽象对象。

它还意味着，数学定理是关于那些抽象数学对象的客观真理，就像物理学定律是关于那些具体的物理对象的客观真理。这种信念一般被称作朴素的数学实在论。

为了更清楚地看出数学中的抽象对象（尤其是无穷数学对象）与宇宙中的具体事物之间的本质差异，并由此认识到朴素的数学实在论观点所包含的一些困难，我们可以回顾一下物理学家对我们生活在其中的这个宇宙的描述。

依物理学家们的描述，宇宙在宏观上很可能是有限的。在微观上，一些物理学家也在考虑离散时空的可能性。这还没有定论，但问题是，今天的物理学仅仅研究、描述所谓普朗克尺度（大约10^(-35)米，10^(-44)秒等）以上的事物。对于普朗克尺度以下的事物，不论是否有那样的事物（即不论是否时空在普朗克尺度上就已经是离散的了），今天的物理学家们还没有任何肯定的说法。

今天，我们常常用一些连续的数学模型，从宏观上描述在微观上明显地是有限和离散的事物，比如，在经典流体力学中描述由离散粒子构成的流体，甚至在人口学中描述人口增长等等。所以，使用连续数学模型描述物理对象不意味着假设那些对象是连续的。

因此，即使今天物理学家们都接受了一个用连续数学模型来描述在普朗克尺度上的微观事物的理论，这也不意味着物理学家们是在肯定地断言时空是连续的。

同样，即使今天物理学家们都认为在普朗克尺度以下的事物还有结构，它也不蕴涵时空是连续的，因为还有可能在一个更遥远的微观尺度上（比如10^(-350)米以下）时空又是离散的。

古人说“一尺之棰，日取其半，万世不竭”。但是，2^(-120)＜10^(-36)，因此事实上，在“日取其半”未到120日之前（更不用说“万世”了），我们就已达到了普朗克尺度，而我们目前还不清楚，继续“日取其半”下去是否还有物理意义。也许在那个尺度上时空就已经是离散、不可继续分割的了；也许在那个尺度上时空不是四维的，因此“一半”的意义变得不清楚了；也许在那个尺度上我们熟知的物理量，如距离、时间度量等等，都将失去物理意义。

所以，“一尺之棰，日取其半，万世不竭”仅仅是我们基于日常经验、将日常观察到的事物作直接而简单的延伸的想象。但是，从现代物理学我们已经认识到，宏观上或微观上离我们非常遥远的事物，会完全超出我们的日常经验以及基于日常经验的简单想象。

比如，我们想象两根平行线可以无限地延长而不相交，但广义相对论与现代宇宙学告诉我们也许这不是真的，宇宙有可能是有限而又封闭的。又比如，我们很自然地将微观粒子想象成像一粒沙子那样的很小的小球（经典粒子），但量子力学告诉我们这是不对的，因为微观粒子有所谓难以清楚地想象的波粒二象性等等。

因此，我们不应该轻易地将我们对有限范围内的事物的认识，直接地推广到这个有限范围之外，甚至推广至无穷。结论是，我们不应该轻易地断言在这个宇宙中存在着（宏观上或微观上的）无穷的对象。这是我们对宇宙中的具体事物的科学认识的实情。

——叶峰《二十世纪数学哲学》