2023 研究生数学建模竞赛（B题）DFT类矩阵的整数分解逼近|建模秘籍&文章代码思路大全

问题重述

问题1：降低硬件复杂度
在约束1下，优化DFT矩阵的分解，以最小化误差（RMSE）并减少乘法器的数量。

问题2：限制元素实部和虚部取值范围
在约束2下，优化DFT矩阵的分解，以最小化误差并考虑元素实部和虚部的取值范围。

问题3：同时限制稀疏性和取值范围
在同时满足约束1和2的条件下，优化DFT矩阵的分解，以最小化误差和硬件复杂度。

问题4：研究其他矩阵的分解方案
考虑多个DFT矩阵和非DFT矩阵的乘积，再次在约束1和2下优化分解，以最小化误差和硬件复杂度。

问题5：加入精度限制
在问题3的基础上，要求将精度限制在0.1以内（RMSE≤0.1），再次优化分解方案，以最小化硬件复杂度。

问题一

问题1的目标是降低硬件复杂度，通过优化DFT矩阵的分解，以最小化误差（RMSE）并减少乘法器的数量。我们可以通过以下建模思路来解决问题1：

首先，定义一些变量和参数：

• 设 N 为 DFT 矩阵的维度。
• 定义 DFT 矩阵为 ($\mathbf{F}$)，它是一个大小为 N × N 的复数矩阵。
• 定义 K 个矩阵分解后的矩阵为 (${\mathbf{M}}_1,{\mathbf{M}}_2,\dots ,{\mathbf{M}}_K$)，每个 (${\mathbf{M}}_i$) 是大小为 N × N 的矩阵。
• 定义 (${\alpha }_i$) 为矩阵 (${\mathbf{M}}_i$) 中的实值缩放因子，用于调整误差。
• 定义 (q) 为乘法器的复杂度，它与乘法器的设计和输入数据的位宽相关。

接下来，我们可以建立一个数学模型，优化目标是最小化误差，并约束硬件复杂度：

最小化目标函数：

$\text{Minimize }\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{N^2}{\sum }_{i,j}|{\mathbf{F}}_{ij}-\left({\sum }_{k=1}^K{\alpha }_k{\mathbf{M}}_{ki}{\mathbf{M}}_{kj}\right){|}^2}$

这里，RMSE 是均方根误差，用于衡量原始 DFT 矩阵与分解后矩阵之间的误差。

约束条件：

1. 每个矩阵 ${\mathbf{M}}_i$ 的每行至多只有 2 个非零元素。
2. 硬件复杂度 (C) 受乘法器数量 (L) 影响，即 $C=L\cdot q$。
3. 矩阵元素的取值范围没有特定限制。

然后，通过使用数学优化方法，例如线性规划或整数规划，可以求解上述目标函数和约束条件，以找到最佳的分解方案，即找到合适的矩阵 (${\mathbf{M}}_i$) 和缩放因子 (${\alpha }_i$) 来最小化 RMSE 并减少乘法器数量 (L)。

请注意，具体的优化算法和求解方法将取决于问题的具体参数和约束条件。您可以使用优化软件包（如Python的SciPy库）来实现并求解这个数学模型。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义 DFT 矩阵的维度 N
N = 8  # 这里以 N=8 为例

# 定义 DFT 矩阵
F = np.fft.fft(np.eye(N))

# 定义目标函数：RMSE
def objective_function(x):
    alpha = x[:K]  # 前 K 个参数是缩放因子 alpha
    M = x[K:].reshape((K, N, N))  # 后面的参数是矩阵 M

    # 计算分解后的矩阵
    reconstructed_F = np.sum(alpha[i] * np.dot(M[i], M[i].T.conj()) for i in range(K), axis=0)

    # 计算 RMSE
    rmse = np.sqrt(np.mean(np.abs(F - reconstructed_F)**2))
    return rmse

# 定义约束条件：每个矩阵 M_i 的每行至多只有 2 个非零元素
def constraint1(x):
    M = x[K:].reshape((K, N, N))
    return np.sum(np.abs(M) > 0.001, axis=(1, 2)) - 2  # 0.001 是一个小的阈值，用于定义非零元素

问题二

问题2的目标是通过限制DFT矩阵元素的实部和虚部的取值范围来减少硬件复杂度。下面是问题2的具体建模思路：

首先，定义一些变量和参数：

• 设 N 为 DFT 矩阵的维度。
• 定义 DFT 矩阵为 ($\mathbf{F}$)，它是一个大小为 N × N 的复数矩阵。
• 定义 K 个矩阵分解后的矩阵为 (${\mathbf{M}}_1,{\mathbf{M}}_2,\dots ,{\mathbf{M}}_K$)，每个 ${\mathbf{M}}_i$是大小为 N × N 的矩阵。
• 定义 (\alpha_i) 为矩阵 (\mathbf{M}_i) 中的实值缩放因子，用于调整误差。
• 定义 (q) 为乘法器的复杂度，它与乘法器的设计和输入数据的位宽相关。
• 定义 (a) 和 (b) 为实部和虚部的取值范围，例如 $a\le \text{Re}({\mathbf{F}}_{ij})\le b$) 和 ($a\le \text{Im}({\mathbf{F}}_{ij})\le b$。

接下来，我们可以建立一个数学模型，优化目标是最小化误差，并约束实部和虚部的取值范围：

最小化目标函数：

$textMinimize\text{RMSE}=\sqrt{\frac{1}{N^2}{\sum }_{i,j}|{\mathbf{F}}_{ij}-\left({\sum }_{k=1}^K{\alpha }_k{\mathbf{M}}_{ki}{\mathbf{M}}_{kj}\right){|}^2}$

这是与问题1相同的目标函数，用于最小化RMSE。

约束条件：

1. 每个矩阵 (\mathbf{M}_i) 的每行至多只有 2 个非零元素。
2. 限制矩阵元素的实部和虚部取值范围：($a\le \text{Re}({\mathbf{M}}_{ij})\le b$) 和 ($a\le \text{Im}({\mathbf{M}}_{ij})\le b$)。

然后，通过使用数学优化方法，例如线性规划或整数规划，可以求解上述目标函数和约束条件，以找到最佳的分解方案，即找到合适的矩阵 (${\mathbf{M}}_i$) 和缩放因子 ${\alpha }_i$ 来最小化RMSE并满足实部和虚部的取值范围约束。

同样，注意具体的问题参数和约束条件可能需要根据您的需求进行调整。您可以使用优化软件包（如Python的SciPy库）来实现并求解这个数学模型。

import numpy as np
from scipy.optimize import minimize

# 定义 DFT 矩阵的维度 N
N = 8  # 这里以 N=8 为例

# 定义 DFT 矩阵
F = np.fft.fft(np.eye(N))

# 定义目标函数：RMSE
def objective_function(x):
    alpha = x[:K]  # 前 K 个参数是缩放因子 alpha
    M = x[K:].reshape((K, N, N))  # 后面的参数是矩阵 M

    # 计算分解后的矩阵
    reconstructed_F = np.sum(alpha[i] * np.dot(M[i], M[i].T.conj()) for i in range(K), axis=0)

    # 计算 RMSE
    rmse = np.sqrt(np.mean(np.abs(F - reconstructed_F)**2))
    return rmse

# 定义约束条件：每个矩阵 M_i 的每行至多只有 2 个非零元素
def constraint1(x):
    M = x[K:].reshape((K, N, N))
    return np.sum(np.abs(M) > 0.001, axis=(1, 2)) - 2  # 0.001 是一个小的阈值，用于定义非零元素

# 定义约束条件：实部和虚部的取值范围

完整版看我的文档
2023 研究生数学建模竞赛（B题）建模秘籍&文章代码思路大全