圆锥曲线总结

椭圆

一堆定义

第一定义：

平面内与两定点$F_1,F_2$的距离的和等于常数$2a(2a\ge |F_1{F}_2|)$的动点P的轨迹叫做椭圆。
其中两定点$F_1,F_2$叫做椭圆的焦点，两焦点的距离$|F_1{F}_2|=2c\le 2a$叫做椭圆的焦距。
P为椭圆的动点。

第二定义：

椭圆平面内到定点$F(c,0)$的距离与到定直线$l:x=\frac{a^2}{c}（F不在l上）$的距离之比为常数从C/A,（即离心率，0

第三定义：

平面内的动点到两定点A1(a，0)、A2(-a，0)的斜率乘积，等于常数 e²-1的点的轨迹，叫做椭圆或双曲线，其中两定点分别为椭圆或双曲线的顶点；当常数大于-1小于0时为椭圆；当常数大于0时为双曲线。

焦点三角形

记$F_1$为左焦点，$F_2$为右焦点，$P$为椭圆上异于左右顶点的点。
记$|P{F}_1|=m，|P{F}_2|=n$

$$\{\begin{array}{c}m+n=2a\\ \frac{m^2+n^2-(2c{)}^2}{2mn}=\cos \theta \end{array}$$

$$mn=\frac{2b^2}{1+\cos \theta }$$

$$S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}|P{F}_1||P{F}_2|\sin \theta =\frac{1}{2}mn\sin \theta =b^2\frac{\sin \theta }{\cos \theta +1}=b^2\frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{2{\cos }^2\frac{\theta }{2}-1+1}=b^2\tan \frac{\theta }{2}$$

双曲线

<|F1F2|

焦点三角形

记$F_1$为左焦点，$F_2$为右焦点，$P$为椭圆上异于左右顶点的点。
记$|P{F}_1|=m，|P{F}_2|=n$

$$\{\begin{array}{c}|m-n|=2a\\ \frac{m^2+n^2-(2c{)}^2}{2mn}=\cos \theta \end{array}$$

$$mn=\frac{2b^2}{1-\cos \theta }$$
$$S_{△P{F}_1{F}_2}=\frac{1}{2}|P{F}_1||P{F}_2|\sin \theta =\frac{1}{2}mn\sin \theta =b^2\frac{\sin \theta }{1-\cos \theta }=b^2\frac{2\sin \frac{\theta }{2}\cos \frac{\theta }{2}}{1-(1-2{\sin }^2\frac{\theta }{2})}=\frac{b^2}{\tan \frac{\theta }{2}}$$

抛物线