EM@常用三角函数图象性质(中学部分)

文章目录

    • abstract
    • 正弦函数
    • 正弦型函数
      • 转动相关概念
        • 旋转角速度
        • 转动周期
        • 转动频率
        • 初相
        • 小结
    • 余弦函数的图象与性质
      • 性质
    • 正切函数的图象和性质
    • 由已知三角函数值求角
      • 任意角范围内
      • 反三角函数(限定范围内)
        • 反正弦
        • 反余弦
        • 反正切

abstract

  • 讨论 sin ⁡ , cos ⁡ , tan ⁡ \sin,\cos,\tan sin,cos,tan的图象性质,这些性质可以借助单位圆分析
    • y = cos ⁡ x y=\cos{x} y=cosx:余弦曲线
    • y = sin ⁡ x y=\sin{x} y=sinx:正弦曲线
    • y = tan ⁡ x y=\tan{x} y=tanx:正切曲线
EM@常用三角函数图象性质(中学部分)_第1张图片 正弦线和正弦曲线
EM@常用三角函数图象性质(中学部分)_第2张图片 余弦曲线
EM@常用三角函数图象性质(中学部分)_第3张图片 正切线和正切曲线

正弦函数

  • y = sin ⁡ x y=\sin{x} y=sinx, x ∈ R x\in\mathbb{R} xR是正弦函数,其中自变量 x x x是弧度值
    • 定义域: R \mathbb{R} R
    • 值域: [ − 1 , 1 ] [-1,1] [1,1]
      • x = − π 2 + 2 k π x=-\frac{\pi}{2}+2k\pi x=2π+2, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ时取得最小值 − 1 -1 1
      • x = π 2 + 2 k π x=\frac{\pi}{2}+2k\pi x=2π+2, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ时取得最大值1
    • 有界性: ∣ sin ⁡ x ∣ ⩽ 1 |\sin{x}|\leqslant{1} sinx1
    • 奇偶性:奇函数
    • 周期性:最小正周期为 2 π 2\pi 2π
    • 单调性: [ − π 2 + 2 k π , π 2 + 2 k π ] [-\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{\pi}{2}+2k\pi] [2π+2,2π+2]为递增区间; [ π 2 + 2 k π , 3 π 2 + 2 k π ] [\frac{\pi}{2}+2k\pi,\frac{3\pi}{2}+2k\pi] [2π+2,23π+2]为递减区间; k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ
  • 正弦函数刻画的是弧度 x x x对应的正弦值 sin ⁡ x \sin{x} sinx

正弦型函数

  • y = A sin ⁡ ( ω x + ϕ ) y=A\sin(\omega{x}+\phi) y=Asin(ωx+ϕ),称为正弦型函数
  • 相比于正弦函数 y = sin ⁡ x y=\sin{x} y=sinx, y = A sin ⁡ ( ω x + ϕ ) y=A\sin(\omega{x}+\phi) y=Asin(ωx+ϕ)增加了两个影响函数的参数 A , ω , ϕ A,\omega,\phi A,ω,ϕ(它们不是变量,而都是常数)
  • 这个函数在物理应用中很常见,具有明显的物理意义
  • 正弦型函数和仍可以用圆周运动来描述:
    • 设直角坐标系中某点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)绕着原点 O O O以半径为 R R R的圆轨迹作角速度 ω \omega ω rad/s的圆周运动
    • 设旋转前 P P P的位置为 P 0 P_0 P0,且 O P OP OP ϕ \phi ϕ的终边
    • 经过 t t t秒后,点 P P P来到了新位置,且 O P OP OP ϕ + ω t \phi+\omega{t} ϕ+ωt的终边
    • 容易算得 P P P的坐标 ( x , y ) (x,y) (x,y)关于时间 t t t的函数关系
      • x = R cos ⁡ ( ω t + ϕ ) x=R\cos(\omega{t}+\phi) x=Rcos(ωt+ϕ)
      • y = R sin ⁡ ( ω t + ϕ ) y=R\sin(\omega{t}+\phi) y=Rsin(ωt+ϕ)
      • 推导方式如下:
        • 在直角坐标系 x O y xOy xOy上,令角 ϕ \phi ϕ的顶点为 O O O坐标原点重合, ϕ \phi ϕ的始边与 x x x轴正半轴重合
        • 并以 O O O为圆心构造单位圆, ϕ \phi ϕ与单位圆的交点的坐标为 E ( cos ⁡ ϕ , sin ⁡ ϕ ) E(\cos\phi,\sin{\phi}) E(cosϕ,sinϕ)
        • P 0 P_0 P0也是 ϕ \phi ϕ终边上的点,且 O P 0 = R OP_0=R OP0=R;则 P 0 P_0 P0的坐标 ( P 0 x , P 0 y ) (P_{0x},P_{0y}) (P0x,P0y) E E E的坐标 ( sin ⁡ α , cos ⁡ α ) (\sin\alpha,\cos\alpha) (sinα,cosα) R R R倍: P 0 x = R cos ⁡ ϕ P_{0x}=R\cos\phi P0x=Rcosϕ, P 0 y = R sin ⁡ ϕ P_{0y}=R\sin\phi P0y=Rsinϕ
        • 对于终边 ω t + ϕ \omega{t}+\phi ωt+ϕ上的 P P P点坐标为 ( R cos ⁡ ( ω t + ϕ ) , R sin ⁡ ( ω t + ϕ ) ) (R\cos(\omega{t}+\phi),R\sin(\omega{t}+\phi)) (Rcos(ωt+ϕ),Rsin(ωt+ϕ))
    • 这就得到了正弦型函数 y = A sin ⁡ ( ω x + ϕ ) y=A\sin(\omega{x}+\phi) y=Asin(ωx+ϕ)

转动相关概念

旋转角速度
  • 坐标系内的点 P ( x , y ) P(x,y) P(x,y)绕点 O O O在单位时间内旋转过的角的弧度数 ω \omega ω
转动周期
  • y = R sin ⁡ ( ω t + ϕ ) y=R\sin(\omega{t}+\phi) y=Rsin(ωt+ϕ)中,点 P P P旋转一周所需要的时间为 T = 2 π ω T=\frac{2\pi}{\omega} T=ω2π,这个时间也称为转动周期

    • α = ω t + ϕ \alpha=\omega{t}+\phi α=ωt+ϕ,设函数 y y y的最小正周期为 T 0 T_0 T0,则 y ( t + T 0 ) y(t+T_0) y(t+T0)= y ( t ) y(t) y(t)
    • R sin ⁡ ( ω ( t + T 0 ) + ϕ ) R\sin(\omega{(t+T_0)}+\phi) Rsin(ω(t+T0)+ϕ)= R sin ⁡ ( ω t + ϕ ) R\sin(\omega{t}+\phi) Rsin(ωt+ϕ),即 sin ⁡ ( ( ω t + ϕ ) + ω T 0 ) \sin((\omega{t}+\phi)+\omega T_0) sin((ωt+ϕ)+ωT0)= sin ⁡ ( ω t + ϕ ) \sin(\omega{t}+\phi) sin(ωt+ϕ)
    • 所以 sin ⁡ ( α + T 0 ) = sin ⁡ ( α ) \sin(\alpha+T_0)=\sin(\alpha) sin(α+T0)=sin(α)
    • sin ⁡ α \sin\alpha sinα的周期为 2 π 2\pi 2π,那么 ω T 0 \omega{T_0} ωT0= 2 π 2\pi 2π,所以 T 0 = 2 π ω T_{0}=\frac{2\pi}{\omega} T0=ω2π
  • 此外,还可以从坐标的伸缩角度来得到转动周期计算公式

  • 例: sin ⁡ ( k x ) \sin(kx) sin(kx), k = 1 , 2 , 3 , ⋯   , n k=1,2,3,\cdots,n k=1,2,3,,n时,在 [ 0 , 2 π ] [0,2\pi] [0,2π]内取得最大值1的极值点(满足 k x = π 2 kx=\frac{\pi}{2} kx=2π)分别是: π 2 \frac{\pi}{2} 2π, π 4 \frac{\pi}{4} 4π, π 6 \frac{\pi}{6} 6π, ⋯ \cdots , π 2 n \frac{\pi}{2n} 2nπ

转动频率
  • 一秒内,点 P P P旋转的周数 f = 1 T f=\frac{1}{T} f=T1= ω 2 π \frac{\omega}{2\pi} 2πω,称为转动的频率
初相
  • ϕ \phi ϕ也叫做初相
小结
  • 转动周期(转动频率)只和 ω \omega ω相关,而与 ϕ \phi ϕ无关
  • ω \omega ω越大,在一定区间内曲线波动的次数就越多,反之越少

余弦函数的图象与性质

  • 我们可以通过诱导公式 y = sin ⁡ ( π 2 + x ) y=\sin(\frac{\pi}{2}+x) y=sin(2π+x)= cos ⁡ x \cos{x} cosx得知, y = cos ⁡ x y=\cos{x} y=cosx的图象和 sin ⁡ ( π 2 + x ) \sin(\frac{\pi}{2}+x) sin(2π+x)的图象相同
  • 所以可以通过研究正弦型函数来研究余弦函数(正弦函数向左平移2个单位就可以得到余弦函数的图象)
  • 此外,余弦型函数 y = A cos ⁡ ( ω x + ϕ ) y=A\cos(\omega{x}+\phi) y=Acos(ωx+ϕ)可以转换为 y = A sin ⁡ ( ω x + ϕ + π 2 ) y=A\sin(\omega{x}+\phi+\frac{\pi}{2}) y=Asin(ωx+ϕ+2π)

性质

  • 定义域和值域和周期同正弦函数
    • 当且仅当 x = π + 2 k π x=\pi+2k\pi x=π+2, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ时,取得最小值 − 1 -1 1
    • 当且仅当 x = 2 k π x=2k\pi x=2, k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ时,余弦函数取值得最大值1
  • 奇偶性:偶函数
  • 单调性: [ 2 k π , π + 2 k π ] [2k\pi,\pi+2k\pi] [2,π+2], k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ时函数单调递减; [ π + 2 k π , 2 π + 2 k π ] [\pi+2k\pi,2\pi+2k\pi] [π+2,2π+2], k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ函数单调递增

正切函数的图象和性质

  • 定义域: {   x ∣ x ≠ k π + π 2 , k ∈ Z   } \set{x|x\neq{k\pi+\frac{\pi}{2}},k\in\mathbb{Z}} {xx=+2π,kZ},
  • 值域: R \mathbb{R} R
    • 在区间 ( − π 2 , π 2 ) (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) (2π,2π)内,当 x < π 2 x<\frac{\pi}{2} x<2π且无限接近 π 2 \frac{\pi}{2} 2π时, tan ⁡ x \tan{x} tanx趋于无限大,记为 tan ⁡ x → + ∞ \tan{x}\to{+\infin} tanx+
    • 另一侧有 x → − π 2 x\to{-\frac{\pi}{2}} x2π tan ⁡ x → − ∞ \tan{x}\to{-\infin} tanx
  • 周期: π \pi π
    • tan ⁡ ( π + x ) \tan(\pi+x) tan(π+x)= tan ⁡ x \tan{x} tanx,所以 π \pi π tan ⁡ x \tan{x} tanx的一个周期
    • 并且结合单位圆中的正弦线,容易说明最小正周期为 π \pi π
  • 奇偶性:奇函数
  • 单调性: ( − π 2 + k π , π 2 + k π ) (-\frac{\pi}{2}+k\pi,\frac{\pi}{2}+k\pi) (2π+,2π+), k ∈ Z k\in\mathbb{Z} kZ区间内函数单调增加

由已知三角函数值求角

任意角范围内

  • 通常可以用单位圆来求解具有给定三角函数值对应的弧度角
  • 例如:已知 sin ⁡ x = 2 2 \sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{2} sinx=22 ,求
    • x x x的可能取值
    • x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] x[2π,2π]条件下 x x x的取值
  • 解:
    • 由单位圆可知, π 4 + 2 k π \frac{\pi}{4}+2k\pi 4π+2, ( π − π 4 ) + 2 k π (\pi-\frac{\pi}{4})+2k\pi (π4π)+2, ( k ∈ Z ) (k\in\mathbb{Z}) (kZ)都满足 sin ⁡ x = 2 2 \sin{x}=\frac{\sqrt{2}}{2} sinx=22 ,
      • 用集合表示为: {   x ∣ x = 2 k π + π 4 ( k ∈ Z )   } \set{x|x=2k\pi+\frac{\pi}{4}(k\in{\mathbb{Z}})} {xx=2+4π(kZ)} ⋃ \bigcup {   x ∣ x = 2 k π + 3 π 4 ( k ∈ Z )   } \set{x|x=2k\pi+\frac{3\pi}{4}(k\in\mathbb{Z})} {xx=2+43π(kZ)}
    • x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] x[2π,2π],由单位圆可知, x = π 4 x=\frac{\pi}{4} x=4π

反三角函数(限定范围内)

  • 已知三角函数值求角的过程的所建立的函数称为反三角函数
  • 由于单射函数才有反函数,反三角函数根据限定三角函数内的一段单调区间定义出来
反正弦
  • 一般地,对于正弦函数 y = sin ⁡ x y=\sin{x} y=sinx,若已知函数值为 y ( y ∈ [ − 1 , 1 ] ) y(y\in[-1,1]) y(y[1,1]),那么 [ − π 2 , π 2 ] [-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] [2π,2π]上由唯一的 x x x值和它对应,记为 x = arcsin ⁡ y x=\arcsin{y} x=arcsiny,(其中 − 1 ⩽ y ⩽ 1 -1\leqslant{y}\leqslant{1} 1y1, − π 2 ⩽ x ⩽ π 2 -\frac{\pi}{2}\leqslant{x}\leqslant{\frac{\pi}{2}} 2πx2π)
  • 例如: sin ⁡ x = 1 2 \sin{x}=\frac{1}{2} sinx=21, x ∈ [ − π 2 , π 2 ] x\in[-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}] x[2π,2π],求 x x x的问题可以表示为 arcsin ⁡ 1 2 \arcsin{\frac{1}{2}} arcsin21
反余弦
  • 在区间 [ 0 , π ] [0,\pi] [0,π]上符合条件 cos ⁡ x = y \cos{x}=y cosx=y, ( y ∈ [ − 1 , 1 ] ) (y\in[-1,1]) (y[1,1])的求角 x x x,记为 x = arccos ⁡ y x=\arccos{y} x=arccosy
    1. arccos ⁡ 1 2 = π 3 \arccos{\frac{1}{2}}=\frac{\pi}{3} arccos21=3π
    2. 已知 cos ⁡ x = − 2 2 \cos{x}=-\frac{\sqrt{2}}{2} cosx=22 ,且 x ∈ [ 0 , 2 π ] x\in[0,2\pi] x[0,2π],求 x x x的取值集合
      • 由单位圆可知,解集为 {   3 π 4 , 5 π 4   } \set{\frac{3\pi}{4},\frac{5\pi}{4}} {43π,45π}
      • 用反余弦函数表示: {   arccos ⁡ ( − 2 2 ) , π + arccos ⁡ 2 2   } \set{\arccos{(-\frac{\sqrt{2}}{2})},\pi+\arccos\frac{\sqrt{2}}{2}} {arccos(22 ),π+arccos22 }
反正切
  • 一般地,若 tan ⁡ x = y ( y ∈ R ) \tan{x}=y(y\in\mathbb{R}) tanx=y(yR),且 x ∈ ( − π 2 , π 2 ) x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) x(2π,2π),那么对每一个正切值 y y y,在开区间 ( − π 2 , π 2 ) (-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) (2π,2π)内,有且只有一个角 x x x满足 tan ⁡ x = y \tan{x}=y tanx=y,记为 x = arctan ⁡ y x=\arctan{y} x=arctany, x ∈ ( − π 2 , π 2 ) x\in(-\frac{\pi}{2},\frac{\pi}{2}) x(2π,2π)
  • 例如 arctan ⁡ 3 3 \arctan{\frac{\sqrt{3}}{3}} arctan33 = π 6 \frac{\pi}{6} 6π

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