几何与向量方法推导两角和差公式

几何方法是用锐角三角函数推广到所有角，向量方法是运用点积与叉积，另外附上两角和差公式的另外形式

1. sin、cos的两角和差公式推导

1.1 几何方法

已知两角$\alpha 、\beta$的任意三角函数，求$si{n}_{\alpha +\beta }与co{s}_{\alpha +\beta }$
这里我们且令OB=1

首先过点B向OC与OA作BD垂直于OA、BE垂直于OC

这时候，我们发现$\gamma =\delta =90°$，因此B、E、D、O四点共圆，$ϵ=\alpha$

接下来就好办了过点E再向BD、OA作两条垂直
推导过程：
$$\begin{gathered} BE=OB\ast si{n}_{\beta }=si{n}_{\beta } \\ OE=OB\ast co{s}_{\beta }=co{s}_{\beta } \\ ϵ=\alpha \\ DG=EF=BE\ast si{n}_{ϵ}=si{n}_{\alpha }sin\beta \\ BF=BE\ast co{s}_{ϵ}=co{s}_{\alpha }si{n}_{\beta } \\ DF=GE=OE\ast si{n}_{\alpha }=si{n}_{\alpha }co{s}_{\beta } \\ OG=OE\ast cos \end{gathered}$$