高中奥数 2021-09-14

2021-09-14-01

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P044 习题03）

如图,3个圆有公共弦.任一条过点的直线与3个圆的交点依次为、、,其中.证明:为定值.

图1

证明

如图,因为3个圆有公共弦,故圆、、共线.

图2

过、、分别作的垂线交l于点、、.

易知=,,.

故为定值.

2021-09-14-02

等腰中,,为边的中点,是外接圆的劣弧上的一个动点,是内的一点,且满足,.证明:的值不依赖于点.

（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 平面几何 范端喜 邓博文 圆的初步 P044 习题04）

证明

如图,设是线段的中点.

图3

则直线是等腰的对称轴.

于是,,.

又因为是中平行于的中位线,所以.

由于,则点、在以为直径的圆上.

从而,.

故.

不依赖于点.