数据结构笔记（王道408）

前言

数据结构的笔记相比于其他3门，笔记的重要性要低很多，毕竟对于选择408的同学来说，大二时候应该有足够的时间学习，所以基础是比较好的，再加上csdn上一大堆数据结构和算法的帖子，我再重复造轮子也没啥意思了。

所以我这篇文章不打算写的很细节，就是单纯地把思路提纯出来，并附上自己的理解，再搭配思维导图就行了，而不去记录过于细节的知识。

绪论

408的4门课，构建了计算机的根基。

计算机处理信息的原理如下：

1. 现实-计算机。从现实到计算机，需要经过硬件+软件的转化，其中就需要数据结构表示现实事物。
2. 内部处理。内部处理的过程中，需要高效，因此诞生了各种算法。
3. 计算机-显示到现实。是步骤1的逆过程。

数据结构基本概念

基本概念

现实世界有信息，通过数据来承载信息，而数据可以被计算机所处理。

数据的形式可以是数值和非数值，但是底层只能是0和1，这是计算机的数学原理和基础构造决定的。

1. 数据项
   • 在C语言中，int，float这些东西，都是最基本的数据单位，就是所谓的数据项
   • 数据项这个概念很矛盾，一边说不可分，但是另一边，有一些特殊的组合项是仍然可分的，比如如果用一个结构体当数据项，那么这个数据项就是组合项。
   • 我们姑且忽略组合项这种东西，就强行把数据项定义为不可分的基本单位就好。
2. 数据元素
   • 在C语言中就是一个结构体实例，代表着一个具体的个体，比如张三。
3. 数据对象
   • 同一类（相同性质）数据元素的集合
   • 在C语言中，就是同一个结构体原型实例化后的所有结构体实例的集合
4. 数据
   • 数据对象的集合，代表了计算机中所有的数据

概念讲完了，然后就是数据结构的定义了。

数据结构描述了一个数据对象内部，不同的数据元素组合的方式。

数据结构是普遍适用的，因为不关心数据元素内部的数据项，所以凡是数据元素，都可以用数据结构去组织，因此不同的数据对象内部，完全可以适用同一个数据结构去组织。

数据结构三要素与ADT

数据结构：

1. 定义：使用者视角
   • 逻辑结构定义。是什么
   • 数据运算定义。可以干什么
2. 实现：开发者视角，需要考虑储存结构，这会影响到空间效率和时间效率。
   • 顺序，链式。
   • 索引储存。索引表通过key-value方式记录数据地址，给定一个key，可以马上得到地址，进而马上得到储存在内存中的值。优点是速度快，缺点是浪费一个索引表的空间，浪费内存。
     
   • 散列储存。散列储存和索引一样快，但是却不需要借助索引表。散列储存本质上是通过一个映射函数代替索引表，这个函数就是Hash函数，输入一个key，直接输出地址，和索引表效果相同，但是并不占用内存。优点同索引，缺点在于，散列函数并不能100%利用内存空间，和索引储存半斤八两，都会浪费内存。

我们再把视角抬高，你会发现数据结构其实是一种ADT（抽象数据类型）。

数据类型=值的范围+可进行的操作，进而可以细分为原子类型（int，float）和结构类型（struct）
数据结构定义=逻辑结构+可进行的操作，和数据类型本质是一样的，所以把数据结构成为抽象数据类型，说白了，ADT描述了数据结构的逻辑部分，隐藏了实现部分，可以拿来即用。

定义好数据类型或者ADT后，使用者就可以使用，无论是哪种，使用者都可以拿来即用。

算法基本概念

算法定义

数据结构是原料，算法是处理步骤。

具体来说，数据结构负责将现实问题装入计算机，而算法就是一系列求解问题的步骤，将计算机中的问题求解出来。

算法五个基本特性

算法其实就是一个可以执行下去（有穷，可行）的函数（输入，确定，输出）

1. 有穷性。
   • 步骤有穷，时间有穷
   • 程序≠算法，程序可能无穷（死循环）
2. 确定性。
   • 说白了算法就是一个函数，x确定y就确定
   • 描述不能有歧义，比如最小，如果有两个一样小的，那就要修改成第一个最小的
3. 可行性。
   • 算法=基本运算有限次组合。其实和有穷性差不多
4. 输入。
   • 可以为0个
5. 输出
   • 至少一个，不然没啥用

算法只要求这些，不强求正确，只要是确定的就行。

好算法的进阶特性

1. 正确。
   • 实用算法的基本要求，算法不一定要求对，但是拿来用一定得对
2. 可读。
   • 伪代码或者代码+注释
3. 健壮性。
   • 容错率
4. 高效率和低储存量需求
   • 时间复杂度低和空间复杂度低

算法复杂度

算法复杂度=时间复杂度+空间复杂度

事后统计（×）：评估算法不应该用实际执行时间，因为影响因素太多了，而且有些算法不能事后统计
事前估计（√）

时间复杂度

T：时间复杂度
n：问题规模

使用渐进记法，只考虑最高阶部分，且系数忽略，$T(n)=O(n^3)$
这个记法代表当n趋于无穷时，T和n是同阶无穷大量，比值为k，这个k是被我们忽略为1的
具体的高阶比较，下图给出直观理解，n的n次方＞阶＞指＞幂＞对＞常

具体分析的时候，关键在于要写出基本操作执行次数x的表达式，用n表达x，或者是写出n和x的关系后化简，然后运用复杂度运算规则得到最后的渐进复杂度：

下面这个例子，这个大循环就是要分析的目标，内层循环总共执行n方次，而外层循环是n次，虽然可以一眼看出来是n方，但是还是要写出来表达式后再化简。

面对复杂问题，应该写出x，变形，化简，得到目标的阶数。

有的时候，x与具体情况有关，那么就有三种计算方法：

1. 最好。参考意义不大
2. 最坏。常用
3. 平均。常用，这个平均需要写出概率分布，计算期望

空间复杂度

S：空间复杂度

S是空间开销与n的关系

内存开销来源：

1. 变量定义/malloc
2. 函数调用

递归调用的空间复杂度就有点像循环时候的时间复杂度，有时候也会算一个式子。

线性表