为什么特征值的重数大于等于线性无关特征向量的个数

特征值的重数与线性无关特征向量的个数的关系

关系就是，特征值的重数 ≥ 该特征值的线性无关向量的个数 ≥ 1

量化关系有

特征值的重数，称为代数重数，等于Jordan矩阵中特征值为λ的Jordan块的阶数之和

特征向量的个数，称为几何重数，等于Jordan矩阵中特征值为λ的Jordan块的个数

证明

先说结论

每个矩阵等价于一个标准形

$$A\cong \left(\begin{array}{c}{E}_{r}0\\ 00\end{array}\right)$$

每个矩阵相似于一个Jordan标准形

A ∼ J = ( λ 1 σ λ 2 σ λ 3 σ ⋱ λ n ) n i σ = 0   o r   1 A\sim J=\begin{pmatrix}& \lambda_1 & \sigma & & & &\\& & \lambda_2 & \sigma & & &\\& & & \lambda_3 & \sigma & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_n &\\\end{pmatrix}_{n_i}\\\sigma=0~or~1 A∼J= ​​λ1​​σλ2​​σλ3​​σ⋱​λn​​​ ​ni​​σ=0 or 1

当矩阵A相似的Jordan标准形中的所有的$\sigma$都=0时，Jordan标准形就是对角矩阵，矩阵可对角化，此时的Jordan标准形就是可对角化的对角矩阵$\Lambda$。

也就是每个Jordan块都是1阶的时候，矩阵可以对角化。

此时的量化关系就是，代数重数=几何重数，n个特征值的特征向量都是线性无关的。

现在来证明一下这个结论。

为什么当$\sigma =0$的时候，代数重数=几何重数。

代数重数

对于特征值$\lambda =\eta$的重数，即代数重数。就是$\phi (\lambda )=|A-\lambda E|$中$(\eta -\lambda {)}^k$的k次方。

因为，A与J相似，则A与J的特征多项式相等。

证明：$J-\lambda E=P^{-1}AP-\lambda P^{-1}EP=P^{-1}(A-\lambda E)P$

$|J-\lambda E|=|P^{-1}||A-\lambda E||P|=\frac{1}{|P|}|A-\lambda E||P|$

所以，代数重数就是$|J-\lambda E|$中$(\eta -\lambda {)}^k$的k次方。
∣ J − λ E ∣ = ∣ λ 1 − λ σ λ 2 − λ σ λ 3 − λ σ ⋱ λ n − λ ∣ n σ = 0   o r   1 |J-\lambda E|=\begin{vmatrix} & \lambda_1-\lambda & \sigma & & & &\\ & & \lambda_2-\lambda & \sigma & & &\\ & & & \lambda_3-\lambda & \sigma & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & \lambda_n-\lambda &\\ \end{vmatrix}_{n}\\ \sigma=0~or~1 ∣J−λE∣= ​​λ1​−λ​σλ2​−λ​σλ3​−λ​σ⋱​λn​−λ​​ ​n​σ=0 or 1
$|J-\lambda E|$是一个上对角矩阵，因此，只要看对角线上乘积的结果，就可以得到$(\eta -\lambda {)}^k$的k值。

用Jordan块的方式表示如下

∣ J − λ E ∣ = ∣ J 1 − λ E J 2 − λ E J 3 − λ E ⋱ J n − λ E ∣ n |J-\lambda E| =\begin{vmatrix} & J_1-\lambda E & & & & &\\ & & J_2-\lambda E & & & &\\ & & & J_3-\lambda E & & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & J_n-\lambda E &\\ \end{vmatrix}_{n}\\ ∣J−λE∣= ​​J1​−λE​J2​−λE​J3​−λE​⋱​Jn​−λE​​ ​n​

对于一个单个的Jordan块

∣ J i − λ E ∣ = ∣ λ i − λ 1 λ i − λ 1 λ i − λ 1 ⋱ λ i − λ ∣ n i n i 是初等因子中 ( λ i − λ ) n i 的次数 |J_i-\lambda E|=\begin{vmatrix}& \lambda_i-\lambda & 1 & & & &\\& & \lambda_i-\lambda & 1 & & &\\& & & \lambda_i-\lambda & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_i-\lambda &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\n_i是初等因子中(\lambda_i-\lambda)^{n_i}的次数 ∣Ji​−λE∣= ​​λi​−λ​1λi​−λ​1λi​−λ​1⋱​λi​−λ​​ ​ni​​ni​是初等因子中(λi​−λ)ni​的次数
介绍到这里我们就可以得出结论了，对于Jordan标准型，代数重数是$|J-\lambda E|$中$(\eta -\lambda {)}^k$的k次方。而对于Jordan块，对于${\lambda }_i=\eta$的Jordan块，${\lambda }_i=\eta$的代数重数是Jordan块的重数$n_i$；对于对于${\lambda }_i\ne \eta$的Jordan块，则${\lambda }_i=\eta$的代数重数就是0。

因此，代数重数就是${\lambda }_i=\eta$的Jordan块的阶数之和（当然仅靠观察也可以得出这个结论）
$$r=\sum _{i=1}^k{n}_i(r是特征值\eta 的重数，k是{\lambda }_i=\eta 的Jordan块的个数)$$

几何重数

对于特征值$\lambda =\eta$的线性无关的特征向量的个数，即几何重数。就是$|A-\eta E|X=O$的齐次方程的基础解系的个数，自由变量的个数。也就是特征多项式$|A-\eta E|$中全为0的行的个数，几何重数=$n-R(A-\eta E)$

这时我们就发现，$当{\lambda }_i=\eta 时$一个Jordan块只能得到一个全零行，一个自由变量，一个线性无关的解向量；当${\lambda }_i\ne \eta$时，必然没有一个全0行
当 λ i = η 时，最后一行全为 0 ∣ J i − η E ∣ = ∣ η − η 1 η − η 1 η − η 1 ⋱ η − η ∣ n i = ∣ 0 1 0 1 0 1 ⋱ 0 ∣ n i 当\lambda_i=\eta时，最后一行全为0\\|J_i-\eta E|=\begin{vmatrix}& \eta-\eta & 1 & & & &\\& & \eta-\eta & 1 & & &\\& & & \eta-\eta & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \eta-\eta &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\=\begin{vmatrix}& 0 & 1 & & & &\\& & 0 & 1 & & &\\& & & 0 & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & 0 &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\ 当λi​=η时，最后一行全为0∣Ji​−ηE∣= ​​η−η​1η−η​1η−η​1⋱​η−η​​ ​ni​​= ​​0​10​10​1⋱​0​​ ​ni​​

当 λ i ≠ η 时，必然没有一个全 0 行 ∣ J i − η E ∣ = ∣ λ i − η 1 λ i − η 1 λ i − η 1 ⋱ λ i − η ∣ n i 当\lambda_i \ne \eta时，必然没有一个全0行\\|J_i-\eta E|=\begin{vmatrix}& \lambda_i-\eta & 1 & & & &\\& & \lambda_i-\eta & 1 & & &\\& & & \lambda_i-\eta & 1 & &\\& & & & \ddots & &\\& & & & & \lambda_i-\eta &\\\end{vmatrix}_{n_i}\\ 当λi​=η时，必然没有一个全0行∣Ji​−ηE∣= ​​λi​−η​1λi​−η​1λi​−η​1⋱​λi​−η​​ ​ni​​

因此，几何重数=当${\lambda }_i=\eta$时的Jordan块的个数k。

现在我们就得到了，几何重数和代数重数的量化关系
$$\begin{gathered} 几何重数=k \\ 代数重数=\sum _{i=1}^k{n}_i \\ k是{\lambda }_i=\eta 的Jordan块的个数 \end{gathered}$$
因此当且仅当所有$n_i=1$的时候，几何重数=代数重数，矩阵可对角化。

【概念】Jordan 约旦(若尔当)矩阵

https://www.zhihu.com/question/379643506

Jordan矩阵是《矩阵论》《矩阵分析》第一章的内容

任意一个矩阵A都相似于一个Jordan矩阵标准形
$$\left(\begin{array}{c}{J}_{1}0\\ 0J_n\end{array}\right)$$
类似于等价一个标准形
$$\left(\begin{array}{c}{E}_{r}0\\ 00\end{array}\right)$$

Jordan 约旦块

上述Jordan标准型的$J_i$就是一个约旦块
J i = ( λ i 1 λ i 1 λ i 1 ⋱ 1 λ i ) 其中 λ 1 , λ 2 , ⋯   , λ n 就是对应一个 A 的特征值 J_i= \begin{pmatrix} & \lambda_i & 1 & & & &\\ & & \lambda_i & 1 & & &\\ & & & \lambda_i & 1 & &\\ & & & & \ddots & 1 &\\ & & & & & \lambda_i &\\ \end{pmatrix}\\ 其中\lambda_{1},\lambda_{2},\cdots,\lambda_{n}就是对应一个A的特征值 Ji​= ​​λi​​1λi​​1λi​​1⋱​1λi​​​ ​其中λ1​,λ2​,⋯,λn​就是对应一个A的特征值

Smith标准形

( d 1 ( λ ) d 2 ( λ ) d 3 ( λ ) ⋱ d n ( λ ) ) \begin{pmatrix} & d_1(\lambda) & & & & &\\ & & d_2(\lambda) & & & &\\ & & & d_3(\lambda) & & &\\ & & & & \ddots & &\\ & & & & & d_n(\lambda) &\\ \end{pmatrix}\\ ​​d1​(λ)​d2​(λ)​d3​(λ)​⋱​dn​(λ)​​ ​

a%b=0，a能被b整除（或说b能整除a）,记作b|a

满足：

1. 后面的可以整除前面的 $d_n(\lambda )\%d_{n-1}(\lambda )=0或d_{n-1}(\lambda )|d_n(\lambda )$

不变因子

Smith标准形中$d_i(\lambda )$就是不变因子

初等因子

所有不变因子中的关于λ的多项式$(\lambda -b{)}^k(k>0)$都是初等因子

行列式因子

一个矩阵的所有的k阶子式中的首一最大公因式就是，k阶行列式因子，$D_k(\lambda )$

首一最大公因子：首项系数是1的最大公因式，也就是最高次项系数是1的最大公因式。只能是kλ+b

行列式因子可以转化为不变因子
$$\begin{gathered} d_1(\lambda )=D_1(\lambda ) \\ {d}_k(\lambda )=\frac{D_k(\lambda )}{D_{k-1}(\lambda )} \end{gathered}$$

Jordan标准形的求法

通过初等因子，可以写出Jordan块

比如对于$(\lambda -2{)}^2(\lambda -1)$可以写出两个Jordan块
$$\left(\begin{array}{c}21\\ 02\end{array}\right)和(1)$$
拼起来，得到 Jordan标准型为
( 2 1 0 0 2 0 0 0 1 ) \begin{pmatrix} 2 \quad 1 \quad 0 \\ 0 \quad 2 \quad 0\\0 \quad 0 \quad 1\end{pmatrix} ​210020001​ ​
或者
( 1 0 0 0 2 1 0 0 2 ) \begin{pmatrix}1 \quad 0 \quad 0\\ 0 \quad 2 \quad 1 \\ 0 \quad 0 \quad 2\\\end{pmatrix} ​100021002​ ​
Jordan标准形不计排列顺序。

初等因子可以通过两种方式求得，通过初等变换得到Smith标准型，或通过计算行列式因子得到不变因子

1 初等变换法

2 行列式因子法