图论----图的存储及其遍历

一、图的存储

1、邻接矩阵

邻接矩阵，故名思意就是用一个矩阵存储图，我们可以创建一个二维数组maze，maze[x][y]可以表示x到y的边；那么该如何处理有边权和无边权呢，对于无边权问题，可以将maze全部初始化为0，然后如果从x到y有边，那就将maze[x][y]赋值为1；对于有边权问题，可以将maze全部初始化为inf，如果x到y有边，那就将maze[x][y]赋值为边权；

有向图 无边权

#include
using namespace std;
const int N = 510;
int maze[501][501];
int main()
{
    memset(maze,0,sizeof maze);
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    //n个点 m条边
    while(m--)
    {
        int x,y;
        cin >> x >> y;
        maze[x][y] = 1;
    }
    return 0;
}

有向图 有边权

#inlcude
using namespace std;
const int N = 505;
int main()
{
    memset(maze,0x3f,sizeof maze);
    int n,m;
    cin >> n >> m;
    for(int i = 1;i <= n;++i)
    {
        maze[i][i] = 0;
        //自环
    }
    while(m--)
    {
        int x,y,z;
        cin >> x >> y >> z;
        maze[x][y] = min(maze[x][y],z);
    }
    return 0;
}

这里存边权保存最小的边权！

如果是无向图那就再多给maze[y][x]赋值一下就可以了；

但是这种存储方式有个缺点，一般oj题都是1s的时间，1s时间通常只能处理1e8的数据规模，但邻接矩阵是O(N^2)级别的，也就是没法处理1e5以上的数据，而且空间利用率不高，浪费很多开了但没存边的空间；这时候就要用到第二种存储方式-----邻接表

2、邻接表

邻接表的本质是链表，但是为了存储效率，这里采用数组模拟链表；

大致思路是：

将输入的起点，作为下标，将输入的终点，连接到下标的链表上，比如图中的1后面跟着的两个节点，就是1为起点可以走到的两个节点，2后面跟着一个节点，就是2为起点可以走到的节点；以此类推。。。

如果还觉得有些抽象，可以给出一个例子：

 

将左边的图转变成右边的邻接表就是这样。

那么如何实现对于某个节点的插入呢？

我们这里采用数组模拟链表，所以插入和链表的插入类似：

 

先要将节点连入链中，避免找不到插入节点的下一个节点。

而这一切的实现都是基于一个计数变量idx；

#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int head[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
void add(int x, int y, int z)
{
	e[idx] = y;
	w[idx] = z;
	ne[idx] = head[x];
	head[x] = idx++;
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;//n张图
	while (n--)
	{
		memset(head, -1, sizeof head);
		idx = 0;
		int m;
		cin >> m;
		while (m--)
		{
			int x, y, z;
			cin >> x >> y >> z;
			add(x, y, z);
			//如果无向图，那就加上
			//add(y,x,z);
		}
	}
	return 0;
}

 

这里head就是上面图中的横条数组，同时还需要设置一个结束的标志，为了之后方便遍历，不然之后要遍历某个节点的边，从head数组上一路往下遍历，什么时候遍历结束呢？所以这里将-1设置为结束标志，最开始将head数组全部初始化为-1，因为最开始没有插入任何边；

e数组用来储存与x相连的点，e[x]的值表示以x为起点，ne[x]为终点的边；

 

ne数组用来存储该点的下一个节点，ne[x]表示x的后一个节点是谁；

比如上图的

在这个框框内，ne[②]的值为3，ne[③]的值为-1，但是大家可能有疑问，这里的下标我为什么用的②而不是2，③而不是3，这是因为计数变量idx的作用：

如果这里是3不是③，那看红方框右边一格，也有个3，那ne[3]到底 保存谁呢？

所以这里用了idx这个计数变量，让每个节点都有不同的idx，从而值相同的节点可以通过idx不同保存在ne中；所以上面提到的ne[②],ne[③]，这个②和③具体多少是不一定的，要看这个②和③是第几个插入的；

这里比较难以理解，可以多看几遍，代码放进编译器里面调试几遍。

二、图的遍历

1、邻接矩阵的遍历

二维数组的遍历，没什么好说的

2、邻接表的遍历

邻接表的遍历其实更像是dfs的过程，确定一个节点之后，一条路一直往下走，直到碰见结束标志。

void dfs(int u)
{
	vis[u] = true;
	for (int i = head[u]; i != -1; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if (!vis[j])
		{
			dfs(j);
		}
	}
}

这里先给出要遍历的head数组下标，然后从head[u]开始，只要没到-1，那就一直i = ne[i]，为了避免重复遍历，所以还需要一个vis数组，打标记，如果为true就直接跳过；

完整代码：

#define  _CRT_SECURE_NO_WARNINGS
#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int head[N], e[N], ne[N], w[N], idx;
bool vis[N];
void add(int x, int y, int z)
{
	e[idx] = y;
	w[idx] = z;
	ne[idx] = head[x];
	head[x] = idx++;
}
void dfs(int u)
{
	vis[u] = true;
	for (int i = head[u]; i != -1; i = ne[i])
	{
		int j = e[i];
		if (!vis[j])
		{
			dfs(j);
		}
	}
}
int main()
{
	int n;
	cin >> n;//n张图
	while (n--)
	{
		memset(head, -1, sizeof head);
		idx = 0;
		int m;
		cin >> m;
		while (m--)
		{
			int x, y, z;
			cin >> x >> y >> z;
			add(x, y, z);
			//如果无向图，那就加上
			//add(y,x,z);
		}
	}
	return 0;
}

这里再提一句，邻接表只是画出来是存储的节点，这样是为了方便理解，实际上，以head数组每一个下标为头节点存储的都是idx的值，然后通过idx找到e[idx],w[idx]