图论专题总结报告

图论专题总结报告

摘要

图论〔Graph Theory〕是数学的一个分支。它以图为研究对象。图论中的图是由若干给定的点及连接两点的线所构成的图形，这种图形通常用来描述某些事物之间的某种特定关系，用点代表事物，用连接两点的线表示相应两个事物间具有这种关系。

图(Graph)可以用来表现多种类型的结构或系统，地图、社交网络、计算机网络联通、迷宫游戏等多种结构及系统都可以用图来表示。树是图论中应用最为广泛的一类图。在理论上，由于树的简单结构，常常是图论理论研究的“试验田”。在实际问题中，许多实际问题的图论模型就是树。

出题情况：2020年ccpc秦皇岛女生赛专场题F就是一道图论题。图论经常与并查集等知识结合使用，在每场acm竞赛几乎都有涉及。

背景知识

图G=(V,E)由顶点的集V和边的集E组成。每一条边就是一幅点对(v,w),v,w∈V。有时边也称作弧。有时边还具有第三种成分，称作权或值。如果点对是有序的，那么图就是有向图。图的路径是一个顶点序列w1，w2，w3，…，wn，使得(wi，wi+1)∈E，1≤i≤N。这样一条路径的长是为该路径上的边数，等于N-1.从一个顶点到它自身可以看成是一条路径；如果路径不包含边，那么路径的长为0。

现实生活中能够用图进行模拟的一个例子是航空系统。每个机场是一个顶点，在由两个顶点表示的机场间如果存在一条直达航线，那么这两个顶点就用一条边连接。边可以有一一个权，表示时间、距离或飞行的费用。有理由假设，这样的图是有向图，因为在不同的方向上飞行可能所用时间或所花的费用会不同(例如，依赖于地方税)。可能我们更愿意航空系统是强连通的，这样就总能够从任一机场飞到另外的任意-个机场。 我们也可能愿意迅速确定任意两个机场之间的最佳航线。“最佳”可以是指最少边数的路径，也可以是对一种或 所有的权重量度所算出的最佳者。[1]

交通流可以用一个图来模型化。每一个街道交叉口表示一个顶点，而每一条街道就是一条边。边的值可能代表速度限度，或是容量(车道的数目)等等。此时我们可能需要找出一条最短路，或用该信息找出交通瓶颈最可能的位置。

图的表示：

①邻接矩阵：使用一个二维数组，对于每条边(u，v)，置A[u] [v]等于true，可用∞表示不存在的边。

②邻接表：如果图是稀疏的，使用邻接表更恰当。对每一个顶点，使用一个表存放所有邻接的点，此时的空间需求为O(|E|+|V|)，相对于图的大小而言是线性的。

题型1 拓扑排序

拓扑排序是对有向无圈图的顶点的一种排序，使得如果存在一条从vi到vj的路径，那么在排序中vj就出现在vi后面。例如，ACM程序设计竞赛实训(v1)就是ACM算法竞赛进阶(v2)的先修课程，即v1必须在v2选修前修完。

拓扑排序的简单算法思想就是，先找到入度为0的一个顶点，然后存入输出序列，然后将该顶点以及它的边一起删除，找下一个入度为0的顶点，循环往复，最后得到一个拓扑排序的序列。一个图通过