Acwing 第三章模板及详解（搜索与图论）
一、DFS与BFS
二、树与图的遍历：拓扑排序
三、最短路
四、最小生成树
五、二分图：染色法、匈牙利算法
一、DFS与BFS
概述
DFS：深度优先搜索（Depth-First-Search）
BFS：宽度优先搜索（Breadth-First-Search）
DFS和BFS的对比
DFS使用栈（stack）来实现，BFS使用队列（queue）来实现
DFS所需要的空间是树的高度h，而BFS需要的空间是2h （DFS的空间复杂度较低）
DFS不具有最短路的特性，BFS具有最短路的特性
通常来说，求“最短”的操作，都可以用BFS来做，而其他一些奇怪的操作，或者对空间复杂度要求比较高，则用DFS来做
DFS
DFS中的2个重要概念：
回溯：回溯的时候，一定要记得恢复现场
剪枝：提前判断某个分支一定不合法，直接剪掉该分支
#include
using namespace std;
const int N = 10;
int n;
int path[N];//记录所有的搜索路径
bool st[N];//记录这些点有没有被用过，1表示是，0表示否
void dfs(int u) // 第u层
{
if(u == n)//从0开始作为第一层，当搜索完最后一层，就输出这条路径并结束递归
{
for(int i=0;i>n;
dfs(0);
return 0;
}
(1) 深度优先遍历
int dfs(int u)
{
st[u] = true; // st[u] 表示点u已经被遍历过
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j]) dfs(j);
}
}
(2) 宽度优先遍历
queue q;
st[1] = true; // 表示1号点已经被遍历过
q.push(1);
while (q.size())
{
int t = q.front();
q.pop();
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true; // 表示点j已经被遍历过
q.push(j);
}
}
}
二、树与图的遍历：拓扑排序
首先，树是一种特殊的图（无环连通图）。所以，这里只说图的存储即可。
首先，图分为2种，有向图和无向图。
有向图中2个点之间的边是有方向的，比如a -> b，则只能从a点走到b点，无法从b点走到a点。
无向图中2个点之间的边是没有方向的，比如a - b，则可以从a走到b，也可以从b走到a。
通常，我们可以将无向图看成有向图。比如上面，对a到b之间的边，我们可以建立两条边，分别是a到b的，和b到a的。
所以，我们只需要考虑，有向图如何存储，即可。通常有2种存储方式
邻接矩阵
用一个二维数组来存，比如g[a,b]存储的就是a到b的边。邻接矩阵无法存储重复边，比如a到b之间有2条边，则存不了。（用的较少，因为这种方式比较浪费空间，对于有n个点的图，需要n2的空间，这种存储方式适合存储稠密图）
邻接表
使用单链表来存。对于有n个点的图，我们开n个单链表，每个节点一个单链表。单链表上存的是该节点的邻接点（用的较多）
树和图遍历有2种方式，深度优先遍历和宽度优先遍历。
我们只需要考虑有向图的遍历即可。
树与图的深度优先遍历
由于遍历时，每个点最多只会被遍历一次，所以深度优先遍历的时间复杂度是O(n+m)，
n是节点数，m是边数
树的重心:
（深度优先遍历，可以算出每个子树所包含的节点个数）
#include
using namespace std;
const int N = 1e5 + 10;
int e[2 * N], ne[2 * N], idx; // 单链表
int h[N]; // 用邻接表, 来存树
int n, ans = N;
bool visited[N];
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b;
ne[idx] = h[a];
h[a] = idx++;
}
// 返回节点x所在子树的节点个数
int dfs(int x)
{
visited[x] = true;
// sum 用来存 x 为根节点的子树的节点个数
// res 来存, x 的子树的节点个数的最大值
int sum = 1, res = 0;
for(int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i]; // 取节点
if(visited[j]) continue;
int s = dfs(j);
res = max(res, s);
sum += s;
}
res = max(res, n - sum);
ans = min(ans, res);
return sum;
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof h);
scanf("%d", &n);
for(int i = 1; i <= n - 1; i++)
{
int a, b;
scanf("%d%d", &a, &b);
add(a, b);
add(b, a);
}
dfs(1);
printf("%d", ans);
return 0;
} 树与图的存储
树是一种特殊的图，与图的存储方式相同。
对于无向图中的边ab，存储两条有向边a->b, b->a。
因此我们可以只考虑有向图的存储。
(1) 邻接矩阵：g[a][b] 存储边a->b
(2) 邻接表：
// 对于每个点k，开一个单链表，存储k所有可以走到的点。h[k]存储这个单链表的头结点
int h[N], e[N], ne[N], idx;
// 添加一条边a->b
void add(int a, int b)
{
e[idx] = b, ne[idx] = h[a], h[a] = idx ++ ;
}
// 初始化
idx = 0;
memset(h, -1, sizeof h);
树与图的遍历
时间复杂度 O(n+m)O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数时间复杂度 O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数
bool topsort()
{
int hh = 0, tt = -1;
// d[i] 存储点i的入度
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (!d[i])
q[ ++ tt] = i;
while (hh <= tt)
{
int t = q[hh ++ ];
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (-- d[j] == 0)
q[ ++ tt] = j;
}
}
// 如果所有点都入队了，说明存在拓扑序列；否则不存在拓扑序列。
return tt == n - 1;
}拓扑排序
图的宽度优先搜索的应用，求拓扑序（拓扑序是针对有向图的）
什么是拓扑序：将一个图的很多节点，排成一个序列，使得图中的所有边，都是从前面的节点，指向后面的节点。则这样一个节点的排序，称为一个拓扑序。
若图中有环，则一定不存在拓扑序。
可以证明，一个有向无环图，一定存在一个拓扑序列。有向无环图，又被称为拓扑图。
对于每个节点，存在2个属性，入度和出度。
入度，即，有多少条边指向自己这个节点。
出度，即，有多少条边从自己这个节点指出去。
所有入度为0的点，可以排在当前最前面的位置。
算法流程：
将所有入度为0的点入队。
while(queue非空)
{
t = queue.pop(); // 获取队头
枚举t的全部出边 t->j
删掉边t->j, j节点的入度减一
if(j的入度为0) 将j入队
}一个有向无环图，一定存在至少一个入度为0的点
三、最短路
常见的最短路问题，一般分为两大类：
单源最短路
多源汇最短路
在最短路问题中，源点也就是起点，汇点也就是终点。
单源最短路：指的是求一个点，到其他所有点的最短距离。（起点是固定的，单一的）
根据是否存在权重为负数的边，又分为两种情况：
所有边的权重都是正数，通常有两种算法
朴素Dijkstra：时间复杂度O(n2)，其中n是图中点的个数，m是边的个数
堆优化版的Dijkstra：时间复杂度O(mlogn)
两者孰优孰劣，取决于图的疏密程度（取决于点数n，与边数m的大小关系）。当是稀疏图（n和m是同一级别）时，可能堆优化版的Dijkstra会好一些。当是稠密图时（m和n2是同一级别），使用朴素Dijkstra会好一些。
存在权重为负数的边通常有两种算法
Bellman-Ford：时间复杂度O(nm)
SPFA：时间复杂度一般是O(m)，最差O(nm)，是前者的优化版，但有的情况无法使用SPFA，只能使用前者，比如要求最短路不超过k条边，此时只能用Bellman-Ford
多源汇最短路：求多个起点到其他点的最短路。（起点不是固定的，而是多个）
Floyd算法：（时间复杂度O(n3)）
最短路问题的核心在于，把问题抽象成一个最短路问题，并建图。图论相关的问题，不侧重于算法原理，而侧重于对问题的抽象。
Dijkstra基于贪心，Floyd基于动态规划，Bellman-Ford基于离散数学。
算法的选用：通常来说，单源最短路的，如果没有负权重的边，用Dijkstra，有负权重边的，通常用SPFA，极少数用Bellman-Ford；多源最短路的，用Floyd。
朴素Dijkstra
时间复杂是 O(n2+m)O(n2+m), nn 表示点数，mm 表示边数
假设图中一共有n个点，下标为1~n。下面所说的某个点的距离，都是指该点到起点（1号点）的距离。
算法步骤如下，用一个集合s来存放最短距离已经确定的点。
初始化距离，d[1] = 0， d[i] = +∞。即，将起点的距离初始化为0，而其余点的距离当前未确定，用正无穷表示。
循环
每次从距离已知的点中，选取一个不在s集合中，且距离最短的点（这一步可以用小根堆来优化），遍历该点的所有出边，更新这些出边所连接的点的距离。并把该次选取的点加入到集合s中，因为该点的最短距离此时已经确定。
当所有点都都被加入到s中，表示全部点的最短距离都已经确定完毕
注意某个点的距离已知，并不代表此时这个点的距离就是最终的最短距离。在后续的循环中，可能用一条更短距离的路径，去更新。
int g[N][N]; // 存储每条边
int dist[N]; // 存储1号点到每个点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短路是否已经确定
// 求1号点到n号点的最短路，如果不存在则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
for (int i = 0; i < n - 1; i ++ )
{
int t = -1; // 在还未确定最短路的点中，寻找距离最小的点
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
// 用t更新其他点的距离
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
dist[j] = min(dist[j], dist[t] + g[t][j]);
st[t] = true;
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
}堆优化版dijkstra
时间复杂度 O(mlogn)O(mlogn), nn 表示点数，mm 表示边数
堆可以自己手写（用数组模拟），也可以使用现成的（C++的STL提供了priority_queue，Java的JDK中提供了PriorityQueue）
特别注意，插入堆的操作，由于更新距离时，可能对一些距离已知的点进行更新（更新为更小的距离），此时不能因为这个点已经在堆中就不进行插入了，因为其距离已经变了，堆中原有的节点已经无效了，按理说，应该修改堆中对应节点的距离值，然后做调整，实际上，可以直接插入一个新的节点（此时对于同一个节点，堆中有两份），但没有关系，堆中的重复节点不会影响最终的结果。
typedef pair PII;
int n; // 点的数量
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储所有点到1号点的距离
bool st[N]; // 存储每个点的最短距离是否已确定
// 求1号点到n号点的最短距离，如果不存在，则返回-1
int dijkstra()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
priority_queue, greater> heap;
heap.push({0, 1}); // first存储距离，second存储节点编号
while (heap.size())
{
auto t = heap.top();
heap.pop();
int ver = t.second, distance = t.first;
if (st[ver]) continue;
st[ver] = true;
for (int i = h[ver]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > distance + w[i])
{
dist[j] = distance + w[i];
heap.push({dist[j], j});
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
} 手写堆：
#include
#include
using namespace std;
const int N = 1e6, INF = 0x3f3f3f3f;
int h[N], e[N], w[N], ne[N], idx;
int d[N];
int hPos[N], hDis[N], hSize;
bool st[N];
int n, m, x, y, z;
void add(int x, int y, int z)
{
e[idx] = y;
w[idx] = z;
ne[idx] = h[x];
h[x] = idx++;
}
void heap_swap(int i, int j)
{
swap(hPos[i], hPos[j]);
swap(hDis[i], hDis[j]);
}
void up(int pos)
{
while(pos > 1 && hDis[pos / 2] > hDis[pos])
{
heap_swap(pos / 2, pos);
pos /= 2;
}
}
void down(int pos)
{
int mx = pos;
if(2 * pos <= hSize && hDis[2 * pos] < hDis[mx]) mx = 2 * pos;
if(2 * pos + 1 <= hSize && hDis[2 * pos + 1] < hDis[mx]) mx = 2 * pos + 1;
if(mx != pos)
{
heap_swap(mx, pos);
down(mx);
}
}
void insert_to_heap(int x, int dis)
{
hSize++;
hPos[hSize] = x;
hDis[hSize] = dis;
up(hSize);
}
void dijkstra()
{
d[1] = 0;
insert_to_heap(1, 0);
// 当堆非空时，执行
while(hSize > 0)
{
int x = hPos[1];
heap_swap(1, hSize--);
down(1);
if(st[x]) continue; // 由于堆中可能存在重复的节点, 需要判断, 否则会超时
st[x] = true; // 拿出来后, 该点的距离就已经确定
for(int j = h[x]; j != -1; j = ne[j])
{
int u = e[j];
if(d[u] > d[x] + w[j])
{
d[u] = d[x] + w[j];
insert_to_heap(u, d[u]);
}
}
}
}
int main()
{
memset(h, -1, sizeof h);
memset(d, 0x3f, sizeof d);
scanf("%d%d", &n, &m);
while(m--)
{
scanf("%d%d%d", &x, &y, &z);
add(x, y, z);
}
dijkstra();
if(d[n] == INF) printf("-1");
else printf("%d", d[n]);
}
Bellman-Ford算法
算法思路：
循环n次
每次循环，遍历图中所有的边。对每条边
(a, b, w)，（指的是从a点到b点，权重是w的一条边）更新d[b] = min(d[b], d[a] + w)
可以定义一个类，或者C++里面的结构体，存储a，b，w。表示存在一条边a点指向b点，权重为w）。则遍历所有边时，只要遍历全部的结构体数组即可
循环的次数的含义：假设循环了k次，则表示，从起点，经过不超过k条边，走到每个点的最短距离。
该算法能够保证，在循环n次后，对所有的边(a, b, w)，都满足d[b] <= d[a] + w。这个不等式被称为三角不等式。上面的更新操作称为松弛操作。
该算法适用于有负权边的情况。
注意：如果有负权回路的话，最短路就不一定存在了。（注意是不一定存在）。当这个负权回路处于1号点到n号点的路径上，则每沿负权回路走一圈，距离都会减少，则可以无限走下去，1到n的距离就变得无限小（负无穷），此时1号点到n号点的最短距离就不存在。而如果负权回路不在1号点到n号点的路径上，则1到n的最短距离仍然存在。
该算法可以求出来，图中是否存在负权回路。如果迭代到第n次，还会进行更新，则说明存在一条最短路，路径上有n条边，n条边则需要n + 1个点，而由于图中一共只有n个点，所以这n + 1个点中一定有2个点是同一个点，则说明这条路径上有环；有环，并且此次进行了更新，说明这个环的权重是负的（只有更新后总的距离变得更小，才会执行更新）。
但求解负权回路，通常用SPFA算法，而不用Bellman-Ford算法，因为前者的时间复杂度更低。
由于循环了n次，每次遍历所有边（m条边）。故Bellman-Ford算法的时间复杂度是O(n×m)，nn 表示点数，mm 表示边数
注意在模板题中需要对下面的模板稍作修改，加上备份数组，详情见模板题。
模板：
int n, m; // n表示点数，m表示边数
int dist[N]; // dist[x]存储1到x的最短路距离
struct Edge // 边，a表示出点，b表示入点，w表示边的权重
{
int a, b, w;
}edges[M];
// 求1到n的最短路距离，如果无法从1走到n，则返回-1。
int bellman_ford()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
// 如果第n次迭代仍然会松弛三角不等式，就说明存在一条长度是n+1的最短路径，由抽屉原理，路径中至少存在两个相同的点，说明图中存在负权回路。
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
for (int j = 0; j < m; j ++ )
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
if (dist[b] > dist[a] + w)
dist[b] = dist[a] + w;
}
}
if (dist[n] > 0x3f3f3f3f / 2) return -1;
return dist[n];
}SPFA 算法（队列优化的Bellman-Ford算法）
若要使用SPFA算法，一定要求图中不能有负权回路。只要图中没有负权回路，都可以用SPFA，这个算法的限制是比较小的。
SPFA其实是对Bellman-Ford的一种优化。
它优化的是这一步：d[b] = min(d[b], d[a] + w)
我们观察可以发现，只有当d[a]变小了，才会在下一轮循环中更新d[b]
考虑用BFS来做优化。用一个队列queue，来存放距离变小的节点。
（和Dijkstra很像）
SPFA的好处：能解决无负权边的问题，也能解决有负权边的问题，并且效率还比较高。但是当需要求在走不超过k条边的最短路问题上，就只能用Bellman-Ford算法了。
时间复杂度 平均情况下 O(m)，最坏情况下 O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数
模板：
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N]; // 存储每个点到1号点的最短距离
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 求1号点到n号点的最短路距离，如果从1号点无法走到n号点则返回-1
int spfa()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
dist[1] = 0;
queue q;
q.push(1);
st[1] = true;
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
if (!st[j]) // 如果队列中已存在j，则不需要将j重复插入
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
if (dist[n] == 0x3f3f3f3f) return -1;
return dist[n];
} spfa判断图中是否存在负环
时间复杂度是 O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数
int n; // 总点数
int h[N], w[N], e[N], ne[N], idx; // 邻接表存储所有边
int dist[N], cnt[N]; // dist[x]存储1号点到x的最短距离，cnt[x]存储1到x的最短路中经过的点数
bool st[N]; // 存储每个点是否在队列中
// 如果存在负环，则返回true，否则返回false。
bool spfa()
{
// 不需要初始化dist数组
// 原理：如果某条最短路径上有n个点（除了自己），那么加上自己之后一共有n+1个点，由抽屉原理一定有两个点相同，所以存在环。
queue q;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
{
q.push(i);
st[i] = true;
}
while (q.size())
{
auto t = q.front();
q.pop();
st[t] = false;
for (int i = h[t]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (dist[j] > dist[t] + w[i])
{
dist[j] = dist[t] + w[i];
cnt[j] = cnt[t] + 1;
if (cnt[j] >= n) return true; // 如果从1号点到x的最短路中包含至少n个点（不包括自己），则说明存在环
if (!st[j])
{
q.push(j);
st[j] = true;
}
}
}
}
return false;
} Floyd算法：
求解多源汇最短路问题，也能处理边权为负数的情况，但是无法处理存在负权回路的情况。
使用邻接矩阵来存储图。初始使用d[i][j]来存储这个图，存储所有的边
算法思路：三层循环
for(k = 1; k <= n; k++)
for(i = 1; i <= n; i++)
for(j = 1; j <= n; j++)
d[i,j] = min(d[i,j] , d[i,k] + d[k,j])
循环结束后，d[i][j]存的就是点i到j的最短距离。
原理是基于动态规划（具体原理在后续的动态规划章节再做详解）。
其状态表示是：d(k, i, j)，从点i，只经过1 ~ k这些中间点，到达点j的最短距离
时间复杂度是 O(n3), nn 表示点数
模板：
初始化：
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (i == j) d[i][j] = 0;
else d[i][j] = INF;
// 算法结束后，d[a][b]表示a到b的最短距离
void floyd()
{
for (int k = 1; k <= n; k ++ )
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
d[i][j] = min(d[i][j], d[i][k] + d[k][j]);
}总结
Dijkstra
只适用于边权为正的情况。是从点的维度出发，每次循环确定起点到某一个点的最短距离，循环n次，则确定全部n个点到起点的最短距离。其思想有点类似BFS或者贪心，每次选一个距离最小的点，很保守的一点点地往外扩张，而不像DFS一条路走到黑。
注意有一个集合s的概念，每轮循环确定了一个点的最短距离后，就把这个点加入集合s。集合s表示的就是当前哪些点已经确定了最短距离了。已经确定了的点，之后的循环就不再考虑它们了。
每次循环，从未确定最短距离的点中，找一个距离最小的点a，则点a的最短距离已经确定，将其加入集合s，随后用a点去更新其他点（准确的说是和a相连的那些点（a的出边））的距离，本轮循环结束。
实际代码中，我们用一个布尔类型的数组，来表示一个点是否加入了集合s
堆优化版的Dijkstra：优化的就是每轮循环，选择一个距离最小的点这一步，使用小根堆可以在O(1)的时间复杂度选出距离最小的点
在选取一个距离最小的点后，只需要更新这个点所有出边，连接的那些点即可。所以用邻接表来存储比较合适。而邻接表适合存储稀疏图。所以在稀疏图时，可以采用堆优化Dijkstra，使用邻接表来存储图。稠密图的情况，则选用朴素Dijkstra，使用邻接矩阵来存储图。
朴素Dijkstra的时间复杂度是O(n2)，堆优化Dijkstra的时间复杂度是O(mlogn)
Bellman-Ford
适用于存在负权边的情况。是从边的维度出发。首先还是初始化所有点的距离为正无穷，然后初始化起点的距离为0。
循环n次（准确地说应该是n-1次，因为只需要走n-1条边就能从1号点走到n号点），每次循环遍历所有的边（一个边用[a, b, w]表示，a点到b点，权重为w），每次更新这条边右端点（b点）的距离。d[b] = min(d[b], d[a] + w)。
其实只有当d[a]不是正无穷时，才需要更新。如果无脑更新，则当d[a]是正无穷，且w是负数的话，d[b]会被更新为一个比正无穷稍小一点的数，在实际编码中可能出错。而由于d[a]为正无穷（a点不可达），则其实b点应该也保持为正无穷（b点也不可达）。
Bellman-Ford可以用来求解，经过不超过k条边的最短距离。因为每次迭代，都是把边往前走了一步（对于那些a点不可达的边[a, b, w]，不更新d[b]）。需要注意，更新距离数组d时，需要提前备份一下d，并使用上一轮的备份来进行更新。这是为了防止串联更新的情况。
串联更新，就比如有3个点，2条边，a -> b -> c，则第一次循环时，先根据[a, b]这条边更新了d[b]，然后访问到[b ,c]这条边时又会更新d[c]，但第一次循环时，只走出去一条边，是不应当走到c点的。但如果直接使用d数组来更新，则访问[b ,c]这条边时，由于先前访问[a, b]时更新了d[b]，则这次使用了新的d[b]，则会更新d[c]。
串联更新会影响【第k次循环，找到不超过k条边的最短距离】这一语义。虽然它不会影响最终的最短距离。
另外，更新时的条件判断还要注意，需要特别关注重边的情况，说明如下
void bellman_ford()
{
// 循环k次
for(int i = 0; i < k; i++)
{
// 使用备份数组来进行更新, 以避免出现串联更新的情况, 串联更新会影响k次循环找到经过不超过k条边的最短距离的语义
memcpy(tmp, d, sizeof d);
// 每次枚举全部边
for(int j = 0; j < m; j++)
{
int a = edges[j].a, b = edges[j].b, w = edges[j].w;
if(tmp[a] != INF && d[b] > tmp[a] + w)
{
// 注意这里后面要用 d[b] > tmp[a] + w
// 而不能用 tmp[b] > tmp[a] + w
// 当a和b存在重边时, 需要保证用到的是最短的那条边
// 如果采用 tmp[b] > tmp[a] + w , 则无法保证这一点, 可自行验证
d[b] = tmp[a] + w;
}
}
}
}Bellman-Ford也能用来判断图中是否存在负权回路。上面说了，实际只需要循环n-1次，若第n次循环仍然执行了距离的更新，则说明，从1号点到另一个点的最短距离，经过了n条边，n条边，则路径上有n+1个点，而由于一共只有n个点，所以这n+1个点中一定有2个点相同，则这条最短距离的路径上存在一个环，并且只有当距离变小时，才会执行更新，那么说明这个环的权重是负的。
SPFA
SPFA是对Bellman-Ford的优化。上面我们知道，Bellman-Ford是每次遍历所有边，并更新d[b] = min(d[b], d[a] + w)。
初始时所有点的距离都是正无穷的，而根据上面的式子，一条边的w是不变的，则只有当一条边的a点的距离d[a]变小了，下一轮循环才有可能会更新d[b]。于是我们只需要关注那些距离变小的点即可。
则采用类似BFS的思路，使用一个队列来保存那些距离变小的点。其代码思路相比Bellman-Ford而言，非常简单。所以通常对于存在负权边的最短路问题，通常直接用SPFA（甚至不存在负权边的问题，也可以用SPFA）。只有当类似于【求不超过k条边的最短路问题】时，才需要用Bellman-Ford。
**但是！SPFA无法用于存在负权回路的情况！**因为SPFA是用一个队列来存储距离变小的点，若存在负权回路，则队列永远不会为空，会无限循环。而Bellman-Ford由于只循环n次，即使有负权回路，也不会出现死循环。
SPFA代码
void spfa()
{
memset(d, 0x3f, sizeof d); // 距离初始化为正无穷
d[1] = 0; // 起点距离为0
q[++tt] = 1; // 起点距离变小, 入队
while(tt >= hh)
{ // 当队列不空
int u = q[hh++]; // pop 队头
// 遍历所有出边, 进行可能的更新
for(int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if(d[j] > d[u] + w[i])
{
// 一定要写这个判断, 因为d[a]变小后, 对于边[a, b, w], 不一定会保证d[b]也变小(可能b点有其他更短的路径)
d[j] = d[u] + w[i];
q[++tt] = j; // j点距离变小了, 入队
}
}
}
}
四、最小生成树：
什么是最小生成树？首先，给定一个节点数是n，边数是m的无向连通图G。
则由全部的n个节点，和n-1条边构成的无向连通图被称为G的一颗生成树，在G的所有生成树中，边的权值之和最小的生成树，被称为G的最小生成树。
有两种常用算法：
Prim算法（普利姆）
1. 朴素版Prim（时间复杂度O(n2)，适用于稠密图）
2. 堆优化版Prim（时间复杂度O(mlogn)，适用于稀疏图）
Kruskal算法（克鲁斯卡尔）
适用于稀疏图，时间复杂度O(mlogm)
对于最小生成树问题，如果是稠密图，通常选用朴素版Prim算法，因为其思路比较简洁，代码比较短，如果是稀疏图，通常选用Kruskal算法，因为其思路比Prim简单清晰。堆优化版的Prim通常不怎么用。
对于最小生成树问题，如果是稠密图，通常选用朴素版Prim算法，因为其思路比较简洁，代码比较短，如果是稀疏图，通常选用Kruskal算法，因为其思路比Prim简单清晰。堆优化版的Prim通常不怎么用。
朴素版prim算法
其算法流程如下
（其中用集合s表示，当前已经在连通块中的所有的点）
初始化距离, 将所有点的距离初始化为+∞
n次循环
t <- 找到不在集合s中, 且距离最近的点
用t来更新其他点到集合s的距离
将t加入到集合s中
注意，一个点t到集合s的距离，指的是：若点t和集合s中的3个点有边相连。则点t到集合s的距离就是，t与3个点相连的边中，权重最小的那条边的权重。
时间复杂度是 O(n2+m)O(n2+m), nn 表示点数，mm 表示边数
模板：
int n; // n表示点数
int g[N][N]; // 邻接矩阵，存储所有边
int dist[N]; // 存储其他点到当前最小生成树的距离
bool st[N]; // 存储每个点是否已经在生成树中
// 如果图不连通，则返回INF(值是0x3f3f3f3f), 否则返回最小生成树的树边权重之和
int prim()
{
memset(dist, 0x3f, sizeof dist);
int res = 0;
for (int i = 0; i < n; i ++ )
{
int t = -1;
for (int j = 1; j <= n; j ++ )
if (!st[j] && (t == -1 || dist[t] > dist[j]))
t = j;
if (i && dist[t] == INF) return INF;
if (i) res += dist[t];
st[t] = true;
for (int j = 1; j <= n; j ++ ) dist[j] = min(dist[j], g[t][j]);
}
return res;
}Kruskal算法
基本思路：
先将所有边，按照权重，从小到大排序
从小到大枚举每条边(a，b，w)
若a，b不连通，则将这条边，加入集合中（将a点和b点连接起来）
Kruskal算法初始时，相当于所有点都是独立的，没有任何边。
Kruskal不需要用邻接表或者邻接矩阵来存图，只需要存所有边就可以了
时间复杂度是 O(mlogm)O(mlogm), nn 表示点数，mm 表示边数
模板：
int n, m; // n是点数，m是边数
int p[N]; // 并查集的父节点数组
struct Edge // 存储边
{
int a, b, w;
bool operator< (const Edge &W)const
{
return w < W.w;
}
}edges[M];
int find(int x) // 并查集核心操作
{
if (p[x] != x) p[x] = find(p[x]);
return p[x];
}
int kruskal()
{
sort(edges, edges + m);
for (int i = 1; i <= n; i ++ ) p[i] = i; // 初始化并查集
int res = 0, cnt = 0;
for (int i = 0; i < m; i ++ )
{
int a = edges[i].a, b = edges[i].b, w = edges[i].w;
a = find(a), b = find(b);
if (a != b) // 如果两个连通块不连通，则将这两个连通块合并
{
p[a] = b;
res += w;
cnt ++ ;
}
}
if (cnt < n - 1) return INF;
return res;
}总结
与最短路的算法思想类似，求解最小生成树的算法，也是分别从点的维度与边的维度出发
Prim
思想有点类似最短路中的Dijkstra。从点的维度出发，使用一个集合s来表示当前已纳入连通块的点。用d[i]来表示节点i与集合s的距离。注意，一个节点i与一个连通块的距离，指的是，这个节点到连通块中任意点的边权的最小值。
假设连通块中已经有了3个点a, b, c，现在有一个点d，它与a有一条边相连，且边权为4，与b的边权为6，与c的边权为2。则d与这个连通块的距离就是2。
初始时，连通块s中没有点，为空。所有点到连通块s的距离初始化为+∞。我们先随便选一个点（比如1号点），将d[1]设为0，表示这个点到连通块s的距离为0，从这个点开始扩展，建立最小生成树。
循环n次，每次选取一个与连通块距离最小的点，将该点加入连通块s，并通过这个点的出边，去更新其他点到连通块的距离。
即，每次选择一个点，加入到最小生成树。每次选择哪个点呢，选择与当前连通块距离最小的点。
一个点的加入伴随着一条边的加入（除了第一个点）。
所以最终只要加入了n-1条边，就表明n个点已经全部加入了连通块，最小生成树构建完成。
实际代码中，也是通过一个布尔数组，来维护每个点是否已计入连通块。
其实某个点i到连通块的距离d[i]，一定是这个点到连通块中某个点的边，且一定是边权最小的那个边。所以这样就能保证，每次迭代加入一个点到连通块中，都是以最小的代价（最小权重的边）将这个点加入到连通块中的。所以最终就能保证得到的连通块是最小生成树。
Kruskal
从边的维度出发，先将全部边按照权重从小到大排序。然后遍历全部边，每次查看这条边的左右两个端点，是否处于同一个连通块。若不是，则将这条边加入到最小生成树中，并把两个端点放入到同一连通块。这样，当遍历完全部的边之后，会尽可能地将所有点加入到同一个连通块中。且每次是仅当两个点不在连通块时，才将这条边加入，而边是从小到大排序的。这样就能保证尽可能以小的代价，来构造生成树。所以最终得到的就是最小生成树。
注意kruskal的算法流程中，为了确定2个点是否处于同一连通块，需要用到并查集。
五、二分图：染色法、匈牙利算法
二分图指的是，可以将一个图中的所有点，分成左右两部分，使得图中的所有边，都是从左边集合中的点，连到右边集合中的点。而左右两个集合内部都没有边。图示如下
这一节讲了2部分内容，分别是染色法和匈牙利算法。
图论中的一个重要性质：一个图是二分图，当且仅当图中不含奇数环
奇数环，指的是这个环中边的个数是奇数。（环中边的个数和点的个数是相同的）
在一个环中，假设共有4个点（偶数个），由于二分图需要同一个集合中的点不能互相连接。
则1号点属于集合A，1号点相连的2号点就应当属于集合B，2号点相连的3号点应当属于集合A，3号点相连的4号点应当属于集合B。4号点相连的1号点应当属于集合A。这样是能够二分的。
而若环中点数为奇数，初始时预设1号点属于集合A，绕着环推了一圈后，会发现1号点应当属于集合B。这就矛盾了。所以存在奇数环的话，这个图一定无法二分。
可以用染色法来判断一个图是否是二分图，使用深度优先遍历，从根节点开始把图中的每个节点都染色，每个节点要么是黑色要么是白色（2种），只要染色过程中没有出现矛盾，说明该图是一个二分图，否则，说明不是二分图。
染色法判别二分图
其中染色法是通过深度优先遍历实现
时间复杂度是 O(n+m), nn 表示点数，mm 表示边数
int n; // n表示点数
int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储图
int color[N]; // 表示每个点的颜色，-1表示未染色，0表示白色，1表示黑色
// 参数：u表示当前节点，c表示当前点的颜色
bool dfs(int u, int c)
{
color[u] = c;
for (int i = h[u]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (color[j] == -1)
{
if (!dfs(j, !c)) return false;
}
else if (color[j] == c) return false;
}
return true;
}
bool check()
{
memset(color, -1, sizeof color);
bool flag = true;
for (int i = 1; i <= n; i ++ )
if (color[i] == -1)
if (!dfs(i, 0))
{
flag = false;
break;
}
return flag;
}匈牙利算法
时间复杂度是 O(nm), nn 表示点数，mm 表示边数
匈牙利算法，是给定一个二分图，用来求二分图的最大匹配的。
给定一个二分图G，在G的一个子图M中，M的边集中的任意两条边，都不依附于同一顶点，则称M是一个匹配。就是每个点只会有一条边相连，没有哪一个点，同时连了多条边。
所有匹配中包含边数最多的一组匹配，被称为二分图的最大匹配。其边数即为最大匹配数
匈牙利算法的核心思想是：我们枚举左半边所节点，每次找到这个节点连接的所有右侧的节点，遍历这些节点，1、当右侧的节点没有和其他左侧节点配对时，直接将这个节点和此时的左边节点配对。则该左侧节点配对成功。2、当右侧节点已经和其他左侧节点配对了，则尝试给这个右侧节点所配对的左侧节点，找一个备用节点。如果这个右侧节点所配对的左侧节点有其他可选择的备用节点。则将这个左侧节点和其备用节点配对。然后将这个右侧节点和当前节点配对。如此找下去…
模板：
int n1, n2; // n1表示第一个集合中的点数，n2表示第二个集合中的点数
int h[N], e[M], ne[M], idx; // 邻接表存储所有边，匈牙利算法中只会用到从第一个集合指向第二个集合的边，所以这里只用存一个方向的边
int match[N]; // 存储第二个集合中的每个点当前匹配的第一个集合中的点是哪个
bool st[N]; // 表示第二个集合中的每个点是否已经被遍历过
bool find(int x)
{
for (int i = h[x]; i != -1; i = ne[i])
{
int j = e[i];
if (!st[j])
{
st[j] = true;
if (match[j] == 0 || find(match[j]))
{
match[j] = x;
return true;
}
}
}
return false;
}
// 求最大匹配数，依次枚举第一个集合中的每个点能否匹配第二个集合中的点
int res = 0;
for (int i = 1; i <= n1; i ++ )
{
memset(st, false, sizeof st);
if (find(i)) res ++ ;
}小结
二分图相关的算法主要有2个
- 染色法：是用来判断一个图是否是二分图的
- 匈牙利算法：是用来求二分图的最大匹配的