对数函数：2017年文数全国卷C题21

对数函数：2017年文数全国卷C题21

已知函数 .

（Ⅰ）讨论 的单调性;

（Ⅱ）当 时，证明 .

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【解答问题Ⅰ】

函数 的定义域为 .

, 定义域为 .

变形后得：

（1）若 , 则

, 函数在定义域内单调递增；

（2）若 ，则在 区间内，,

函数 在定义域内单调递增；

（3）若 , 则

当 ，函数 单调递增；

当 ，，函数 单调递减；

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【解答问题Ⅱ】

根据前节的推导可知，若 , 则

令 , 则

当

当

所以，

又因为 , 所以

, 所以：

. 证明完毕.

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【提炼与提高】

解答本题需要闯过以下关卡：

（1）求导函数，并利用导函数讨论原函数的单调性；

（2）问题2用到了对数函数的以下性质：

注意这不是定理，而是常用结论。所以我们构造了一个函数 , 简单明了地认证了对数函数的这一性质.

（3）当前高考命题的一个方向和趋势，是考查学生应用基础知识解决实际问题的能力。在本题中也有体现。

在本题第2问中需要注意： 是一个负数，负数不能求对数； 和 是正数，所以是有对数的；

在上面的推导过程中，我们为 加上了括号，就是想强调这点。在进一步的讨论中，用 来代替 ，就更加清楚。

还有这个公式注意下：

以上公式可以用文字来表述：一个正数的对数的相反数等于该数的倒数的相反数。

或者：若两个数互为相反数，则它们的对数的和等于 .

这个公式并不是什么高深的知识，但在考试中出错的几率还是有点高。

应对这类问题，平时一定要多作总结，不要盲目刷题。

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