AcWing 883. 高斯消元解线性方程组 (高斯消元)

题目链接 ： 点击查看

题目描述 ：

输入一个包含 n 个方程 n 个未知数的线性方程组。

方程组中的系数为实数。

求解这个方程组。

下图为一个包含 m 个方程 n 个未知数的线性方程组示例：

输入输出格式 ：

输入

第一行包含整数 n。
接下来 n 行，每行包含 n+1 个实数，表示一个方程的 n 个系数以及等号右侧的常数。

输出

如果给定线性方程组存在唯一解，则输出共 n 行，其中第 i 行输出第 i 个未知数的解，结果保留两位小数。
如果给定线性方程组存在无数解，则输出 Infinite group solutions。
如果给定线性方程组无解，则输出 No solution。

输入输出样例 ：

输入

3
1.00 2.00 -1.00 -6.00
2.00 1.00 -3.00 -9.00
-1.00 -1.00 2.00 7.00

输出

1.00
-2.00
3.00

题目分析 ：

高斯消元是通过初等行变换将增广矩阵转换成阶梯型矩阵，主要用于解决包含n个方程，n个未知数的多元线性方程组。具体的算法步骤如下。

列举每一列c

• 找到当前列绝对值最大的那一行
• 将该行换到最上面
• 将该行第一个数变成1
• 将下面所有行的当前列消成0
• 如此进行到最后再从下向上进行消元

详见如下代码。

代码 ：

#include
#include
#include
#include
using namespace std;
const int N = 110;
const double eps = 1e-6;
int n;
double a[N][N];
int gauss() {
	int c, r;
	for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ ) {
		int t = r;
		for (int i = r; i < n; i ++ ) {//找到当前列绝对值最大的那一项系数 
			if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c])) {
				t = i;
			}
		}
		if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;//最大值为0说明所有数都为0，之前存在这一列的约数方程 
        for (int i = c; i < n + 1; i ++ )  swap(a[t][i], a[r][i]);//将最大系数的那一列换到最上面 
		for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];//从表达式末尾进行计算，将找到最大值的那一列的系数变成1, 
	    for (int i = r + 1; i < n; i ++ ) {//将当前列的所有数消成0 
	    	if (fabs(a[i][c]) > eps) {
	    		for (int j = n; j >= c; j -- ) {
	    			a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];
				}
			}
		}
		r ++ ;		 //对下一行进行操作 
	}
	if (r < n) {//不是唯一解 或 无解 
		for (int i = r; i < n; i ++ ) {
			if (fabs(a[i][n]) > eps) {//无解 
				return 2;
			} 
		}
		return 1;// 不是唯一解 
	}
	for (int i = n - 1; i >= 0; i -- ) {//方程存在唯一解 ，从下往上回代，得到方程的解 
		for (int j = i + 1; j < n; j ++ ) {
			a[i][n] -= a[j][n] * a[i][j];
		} 
	}
	return 0;
}
int main() {
	cin >> n;
	for (int i = 0; i < n; i ++ ) {
		for (int j = 0; j < n + 1; j ++ ) {
			cin >> a[i][j];
		}
	}
	int t = gauss();
	if (t == 0) {
		for (int i = 0; i < n; i ++ ) printf("%.2lf\n", a[i][n]);		
	}
	else if (t == 1) cout << "Infinite group solutions" << endl;
    else cout << "No solution" << endl;
    return 0;
} 

---

下面我们给出高斯消元的模板

// a[N][N]是增广矩阵
int gauss()
{
    int c, r;
    for (c = 0, r = 0; c < n; c ++ )
    {
        int t = r;
        for (int i = r; i < n; i ++ )   // 找到绝对值最大的行
            if (fabs(a[i][c]) > fabs(a[t][c]))
                t = i;

        if (fabs(a[t][c]) < eps) continue;

        for (int i = c; i <= n; i ++ ) swap(a[t][i], a[r][i]);      // 将绝对值最大的行换到最顶端
        for (int i = n; i >= c; i -- ) a[r][i] /= a[r][c];      // 将当前行的首位变成1
        for (int i = r + 1; i < n; i ++ )       // 用当前行将下面所有的列消成0
            if (fabs(a[i][c]) > eps)
                for (int j = n; j >= c; j -- )
                    a[i][j] -= a[r][j] * a[i][c];

        r ++ ;
    }

    if (r < n)
    {
        for (int i = r; i < n; i ++ )
            if (fabs(a[i][n]) > eps)
                return 2; // 无解
        return 1; // 有无穷多组解
    }

    for (int i = n - 1; i >= 0; i -- )
        for (int j = i + 1; j < n; j ++ )
            a[i][n] -= a[i][j] * a[j][n];

    return 0; // 有唯一解
}