《现代心理与教育统计学》 第二章 数据和图表

Remark：对心理学感兴趣，源自自我心理探索，决定学习中科院的儿童发展与教育心理学，倍感忐忑和压力，专业领域跨度较大，也很久不曾认真学习过某项课程。既然已经开始，就全力以赴吧。

  授课老师：禤宇明    脑与认知科学国家重点实验室  中国科学院心理研究所

第二章  数据和图表

一、基础知识

      – 变量、尺度、数据

二、  数据类型与分析方法

      – 类别数据、顺序数据、等距数据、比例数据

三、 数据的来源

四、  数据的整理和统计图表

        – 次数多边形、条形图、饼图、线图、直方图、散点图

一、 基础知识

1.1 变量、尺度、数据

  例：身高：高、矮、中等个头； 180cm

 变量variable：事物的某种特征，这种特征在不同个体之间有差异

尺度（量表）scale：变量的测量标准

数据data：测量的结果

——对同一个研究对象，用不同的尺度进行测量，也可以得到不同的结果（如姚明的官方身高为226cm，这是用米尺测量的结果，换算成英尺就是7 英尺6英寸；如果换成其他尺度测量得出的数据也就不同；也可以直接说“很高”）

变异varation： 研究对象中各观察个体之间的差异

例：线性函数y=ax+b（a和b均为常数）中，x变化，y会发生有规律的变化，但是在统计中会出现的情况通常是y=ax+b+e，e也是个变量，而且有可能是不可控的变量，也就是不同观察个体之间存在细微或不可控的差异。

1. 2 四种测量尺度

（1）类别尺度（Nominal Scale），也叫称名尺度或列名尺度 

例子：—性别（男、女）、企业性质、职业、地区

           — 检验（阴性、阳性）、血型

特性： — 也叫称名尺度或列名尺度；

           — 只能按照事物的某种属性对其进行平行的分类或分组

           —  只能区分事物是同类或不同类（=或≠）

            — 通常计算每一类别中各元素或个体出现的额“次数”或“频率”来进行分析

例：一个班55名同学，女生25人，男生30人。

    在这里，“性别”是变量，“男”和“女”是类别数据，25和30是计数数据。

（2）顺序尺度 （Ordinal Scale）

顺序数据也叫等级（rank ）数据

例子：—绩效评定：优、良、中、及格、不及格

          — 病情：轻、中、重

特性：— 对事物之间等级差别或顺序差别的一种测度

           — 可以将事物分成不同的类别，还可以确定这些类别的优劣或顺序

           — 该尺度具有“>或<”、“=和≠”的数学特性，但不可进行加减乘除运算

例：单位的级别有“科级”、“处级”、“副处级”等，如果一个人是“科级”，那么他所的“级别”变量的数据应该是“=科级”，或“<处级”，即“级别=科级”，或“级别<处级”。

（3）等距尺度（Interval Scale）

例子：温度：华氏℉（Fahrenheit）=℃*9/5+32；各种能力分数；智商等

特性： — 测量结果表现为数值，有相等的单位，但没有绝对零点

            — 等距尺度具有类别尺度、顺序尺度的数学特性，结果只可加减，不可乘除

（4）比例尺度（Ratio Scale）

例子：— 长度、重量、收入、心率、百分制考试分数

特性：— 测量结果表现为数值，表明量的大小，有相等的单位，且有绝对零点

            — 比例尺度具有类别尺度、顺序尺度和等距尺度的数学特征，结果可进行乘除运算

等距尺度与比例尺度的区别在于测量工具是否有绝对零点。对于温度而言，华氏和摄氏两种工具的零点不同，因此属于等距尺度。长度的测量，无论是使用英尺、米尺或其他，零点都是相同的，因此属于比例尺度。

思考题1：数学考试中得了80分，那么这个80分所对应额0分是绝对对的还是相对的呢？

               —— 是相对零点，因为这个0并非绝对衡量点。如果试卷很难，这时候起点0会无形间被拔高，所以应该相应下调，这种情况下80分应该高于常规的80分。反之亦然。（P17—等距数据interval data）

二、数据类型和分析方法

2.1 数据的类型

1. 四分法：类别数据、顺序数据、等距数据、比例数据（P16）

2. 二分法：定性数据（Qualitative data）：类别数据、顺序数据

                  定量数据（Quantitative data）：等距数据、比例数据

统计数据类型

有个从未管过自己孩子的统计学家，在一个星期六下午妻子要外出买东西时，勉强 答应照看一下四个年幼好动的孩子。当妻子回家时，交给妻子一张纸条，上面写着：“擦眼泪11次；系鞋带15次；给每个孩子吹玩 具气球各5次；每个气球的平均寿命10秒钟；警告孩子不要横穿马路26次；孩子坚持要穿马路26次；我还要再过这样的星期六0次。”

不同类型数据之间的变换

•  一般的变化方向： 数值型 → 等级（顺序）→类别

•  偶尔： 顺序 → 数值

2.2 数据类型与统计方法

数据类型与统计方法

三、统计数据的来源

3.1  直接来源

  — 调查：普查、抽样调查

  — 观察与实验

3.2  间接来源（二手数据）

— 不是自己亲自调查的，是别人的数据、公开出版或报道的数据：统计年鉴；报刊、杂志、图书、广播、电视传媒中的各种数据资料

四、数据的整理和统计图表

4.1  数据整理

1. 数据整理的概念：通过各种渠道搜集到统计数据之后，首先应对其进行加工整理，使之系统化、条理化，以符合分析的需要。

整理可以大大简化数据，更容易理解和分析。

2. 数据整理的步骤：数据的预处理——分类或分组——汇总

  （1）数据的预处理：

         ▪  数据的审核与筛选——检查每个样本点是否完整、准确；将不符合要求的数据删除，符合条件的选出来。

         ▪  数据的排序（sort或order）——便于发现数据特征或趋势，也有助于检查错误

  （2）分类或分组（grouping）：根据研究对象的特征，将所得数据划分到各个组别中。

      统计分组应注意：① 以研究对象的本质特性为基础；② 分类标注要明确清晰，能包括所有的数据

  （3） 汇总

3. 数据整理的原则

     ▪ 对定性数据主要做分类整理

    ▪  对定量数据主要做分组整理

4.2 类别数据的整理与图表展示

   1.  整理

         –    列出事物的类别，计算出每一类别的次数、频率或比例、比率

    2.  图表展示

         –    次数分布表： 列出不同类别所对应的次数或比例

次数分布 frequency distribution

次数分布表

    3.  条形图bar graph、饼图pie graph

条形图对于数量多少的对比一目了然。（这里是网民的受教育程度，网民并非全体国民，而且当时上网的主要是大学生偏多，因此网民的受教育程度偏高。）

饼图（选择最合适的图而非最花哨的图，在最合适的图中选择最喜欢的）       

出生人口性别比：是活产男婴数与活产女婴数的比值，通常用女婴数量为100时所对应的男婴数来表示。正常情况下，出生性别比是由生物学规律决定的，保持在103～107之间。

4.3 顺序数据的整理与显示

1. 类别数据的整理和显示的内容都适用于顺序数据。除此之外顺序数据还可以计算累积次数，图形显示用到累积次数分布图

2. 累积次数（cumulative frequencies） 将各类别的次数逐级累加起来

      – 向上累积：从类别顺序开始一方向最后一方累加频数

      – 向下累积：从类别顺序最后一方向开始一方累加频数

3. 累积百分比（cumulative percentages）

4.4 定量数据的整理和图表显示

（1）数据的分组

  – 定量数据包括等距数据和比例数据，在整理时通常要进行分组，然后再计算出各组中出现的次数。分组方法一般用组距分组法

（2） 图表显示

 – 次数分布表

 – 直方图、次数多边形图、累加直方图

4.4.1 组距分组的步骤

1. 求全距

       – R＝Max－Min

2. 定组数

       –  组数过多过少都不合适

      – 经验公式 组数 k=1.87(N－1)0.4， N为数据个数

3. 定组距

    – 组距是一个组的上限与下限之差 ；距=（最大值-最小值）/组数

4. 写出组限

   – 建议用精确组限

5. 求组中值

   – 组中值＝（精确上限＋精确下限）÷2

6. 归类划记

7. 登记次数

4.4.2 定量数据的图表展示

直方图 histogram

直方图跟正态分布图十分接近，即实际数据和理论数据差异不大；矩形的面积大小即表示着数据的多少；在正态分布曲线下，那么区间曲线下的面积即为数据的多少。整个曲线下的面积为100%，即1。找出上方直方图中每个矩形上面一条边的中点，然后用直线连接起来，就形成了次数多边形

次数多边形 frequency polygon

这是一个离散数据的次数多边形

关于上面的frequency polygon，有几个问题：

1. f和p分别表示什么？f 表示对应分数出现的具体、绝对次数，p 表示比例，即相对次数；

2. 每一次的总人数N1和N2分别是多少？N=f/p，因此N1=1/0.01=100，N2=1/0.02=50

3. 纵坐标为什么用 p 而不是 f？只有用p，两条曲线下的面积才相等，面积都为1。f1f2，如果用f作为纵坐标，f1 所对应的曲线面积一定是大于f2的。

4. 哪一组成绩更好？第二组分数高：横坐标是分数，第二组整条曲线整体偏右。

累加直方图 cumulative histogram

频数分布图的形态

三个单峰分布图

问题：假如上图表示的是考试成绩，那么试题较难的对应分布图是哪个？

          回答：正偏态分布。因为题目较难，高分的人数会相对较少。

思考题1：在某小镇对下面变量进行调查，把变量与其直方图相匹配，并解释理由

① 父母双方均小于25岁的家庭中所有成员的身高 

答案：B。涉及父母就会有小孩子，父母又分男性和女性，因此会出现三个峰值。成人身高差异相对较小，数据相对集中，而小孩子身高差异会比较大，数据相对分散，因此小孩身高对应的统计曲线会更扁平。

② 已婚夫妇的身高

答案： C。夫妇就涉及成年男性和成年女性，而男性和女性身高会不同，会有两个峰值。且成年人的身高相较孩子高，横坐标上的起点会更偏右。

③ 全体居民的身高

答案：D。

④ 所有小汽车car的高度

答案：A。A的峰值为该高度的车辆数目最多，且车的高度整体而言低于人的身高，因此可以推断A是有关车的统计。一般家用车的高度差别不会太大，A的最大值与最小值之间差距较小，也比较符合。

思考题2：1960和1980年，对美国妇女进行调查：“你有几个孩子？”结果如下所示。

– 变量是离散的还是连续的？答案：离散的。

– 画直方图(“9或更多可以”可以取为9)

– 从图中能得出什么结论？

直方图：除了两个孩子的家庭人数增多，其他孩子数目的家庭数目都有所下降，说明人们的生育愿望降低。

2000年全国人口普查结果

提问：1. 蓝色和红色线分别代表什么性别？答案：蓝色是男生，红色是女生。理由：中国整体人口是男多女少；女性寿命长，因此高年龄段女性人数较多。

将上面的直方图逆时针旋转90度，然后将左边的图镜面到右边，得到的图跟下面的第二个图很像，即人口负增长：

第一个图形是人口零增长，第二个图体现人口负增长，第三个图体现人口正增长。