数据结构学习笔记——时间复杂度和空间复杂度

目录

时间复杂度

定义

大O符号（Big O notation）

推导大O阶方法

时间复杂度种类

一些实例

空间复杂度

定义

一些实例

时间复杂度

定义

时间复杂度是一个函数，它定量描述了该算法的运行时间。

一个算法执行所耗费的时间，从理论上说，是不能算出来的，只有你把你的程序放在机器上跑起来，才能知道。但是我们需要每个算法都上机测试吗？是可以都上机测试，但是这很麻烦，所以才有了时间复杂度这个分析方式。

一个算法所花费的时间与其中语句的执行次数成正比例，算法中的基本操作的执行次数，为算法的时间复杂度。

实际中我们计算时间复杂度时，我们其实并不一定要计算精确的执行次数，而只需要大概执行次数，那么这里 我们使用大O的渐进表示法。

大O符号（Big O notation）

用于描述函数渐进行为的数学符号。

推导大O阶方法

1. 用常数1取代运行时间中的所有加法常数。

2. 最后的大O函数只保留最高阶项。

3. 如果最高阶项存在且不是1，则去除与这个项目相乘的常数。得到的结果就是大O阶

时间复杂度种类

最坏情况：任意输入规模的最大运行次数(上界)，即算法的最大运行时间

平均情况：任意输入规模的期望运行次数

最好情况：任意输入规模的最小运行次数(下界)

例如：在一个长度为N数组中搜索一个数据x

最好情况：1次找到

最坏情况：N次找到

平均情况：N/2次找到

平均情况的时间复杂度计算：所有情况/情况的个数

所有情况：1+2+……+N = （1+N）*N/2

情况个数：N

平均时间复杂度：O（N）

在实际中一般情况关注的是算法的最坏运行情况，所以数组中搜索数据时间复杂度为O(N)

一些实例

重点掌握O(1) 、O(N)、 O(N^2)、 O(logN)、 O(N logN)

• 当M和N都是变量，无法确定谁大谁小时，时间复杂度为O（M+N）

// 计算func3的时间复杂度？
void func3(int N, int M) {
int count = 0;
for (int k = 0; k < M; k++) {
   count++;
}
for (int k = 0; k < N ; k++) {
   count++;
}
System.out.println(count);
}

• 对执行次数log2 N用换底公式 ==> O(logN)对数时间复杂度，与底数无关

// 计算binarySearch的时间复杂度？
int binarySearch(int[] array, int value) {
   int begin = 0;
   int end = array.length - 1;
   while (begin <= end) {
       int mid = begin + ((end-begin) / 2);
       if (array[mid] < value)
           begin = mid + 1;
       else if (array[mid] > value)
           end = mid - 1;
       else
           return mid;
   }
   return -1;
}

结论：任意算法，所示不断除以“/”任意数字，最终等于0或者1，这个算法的执行次数就是O(logN) —— 折纸算法

一个算法能做到对数级别时间复杂度，一定是个优秀的算法，如20世纪最伟大的算法之一，快速排序O(N logN)

• 一个递归函数的时间复杂度，要把这个递归函数展开，看一下递归的次数与变量N的关系

// 计算阶乘递归factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1) * N;
}
展开：n * n-1 * n-2 * ... ... *1 ==> 乘了n次，执行n次，O(n)

// 计算斐波那契递归fibonacci的时间复杂度？
int fibonacci(int N) {
 return N < 2 ? N : fibonacci(N-1)+fibonacci(N-2);
}

展开：fibo(n) = fibo(n-1) + fibo(n-2)

时间复杂度是指数函数的算法大概率用不成

空间复杂度

定义

所谓的空间复杂度是指算法在执行过程中“额外”开辟的内存空间，即一个算法在运行过程中临时占用存储空间大小的量度 。

空间复杂度不是程序占用了多少bytes 的空间，因为这个也没太大意义，所以空间复杂度算的是变量的个数。空间复杂度计算规则基本跟实践复杂度 类似，也使用大O渐进表示法

空间复杂度99%就两种O(1)和O(N)

• 一个或有限个临时变量空间复杂度是O(1)，只占很小的byte空间。

• 主要看有没有new一个数组，若定义了一堆变量，且这些变量的个数与N有关，int[] data = new int[n] ==> O(N)

• 递归时，调用几次开辟几个栈帧，空间复杂度就是几

一些实例

• 使用了常数个额外空间，空间复杂度为 O(1)

// 计算bubbleSort的空间复杂度？
void bubbleSort(int[] array) {
for (int end = array.length; end > 0; end--) {
     boolean sorted = true;
     for (int i = 1; i < end; i++) {
         if (array[i - 1] > array[i]) {
             Swap(array, i - 1, i);
             sorted = false;
         }
     }
     if (sorted == true) {
         break;
     }
 }
}

• 动态开辟了N个空间，空间复杂度为 O(N)

// 计算fibonacci的空间复杂度？
int[] fibonacci(int n) {
long[] fibArray = new long[n + 1];
fibArray[0] = 0;
fibArray[1] = 1;
for (int i = 2; i <= n ; i++) {
  fibArray[i] = fibArray[i - 1] + fibArray [i - 2];
 }
return fibArray;
}

二维数组要看行和列的关系，若是M行N列，则空间复杂度为O(M*N)

• 递归调用了N次，开辟了N个栈帧，每个栈帧使用了常数个空间。空间复杂度为O(N)

// 计算阶乘递归Factorial的时间复杂度？
long factorial(int N) {
 return N < 2 ? N : factorial(N-1)*N;
}

• 执行n次 ，每次开辟n个空间，空间复杂度为O(N^2)

public void test(int n){
    if(n==1){
        return;
    }
    int[] data = new int[n];
    test(n--);
}

        空间复杂度是次方的算法大概率用不成