在这项工作中,作者提出了一个基于物理信息神经网络的多网络模型,来解决一类一般的正和逆自由边界问题,称为Stefan问题。具体地说,用两个深度神经网络来近似未知解以及任何移动边界。作者提供了三个案例研究(一维一相Stefan问题,一维二相Stefan问题,二维一相Stefan问题),每个案例分别研究了正问题和两个逆问题,相关代码可以在https://github.com/PredictiveIntelligenceLab/DeepStefan获得。
复现代码环境:
conda create -n tensorflow1x python=3.6
conda activate tensorflow1x
pip install tensorflow==1.15.5 -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install pandas -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install seaborn -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install scipy -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
pip install matplotlib -i https://pypi.tuna.tsinghua.edu.cn/simple
方程 (3.1)-(3.6) 中已知变量由 (3.7)-(3.8) 表示,(3.9) 和 (3.10) 分别是该问题的精确解和移动边界的解。
文章作者使用两个独立的神经网络近似潜在的 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t) 和 s ( t ) s(t) s(t),训练40000epoch,一个epoch从初始条件 x = 0 , x=0, x=0, 边界条件 t = 0 , t=0, t=0, 和内部 Ω ∈ Ω ∗ = [ 0 , 1 ] × [ 0 , 1 ] \Omega \in \Omega^*=[0,1]\times[0,1] Ω∈Ω∗=[0,1]×[0,1] 中各随机选择一个batch_size(128)数据点进行训练,没有用到真解。由于 s ( t ) s(t) s(t) 在我们的问题设置中是未知的,所以我们不能简单地在 ( 0 , s ( t ) × ( 0 , t ) (0,s(t)\times(0,t) (0,s(t)×(0,t) 中进行采样点。处理这一技术问题的一种方法是对整个计算域 Ω ∗ \Omega^* Ω∗ 中的配置点进行采样,这是先验已知的,但然后通过将预测解 u θ ( x , t ) u_{\theta}(x,t) uθ(x,t) 限制在域 ( 0 , s β ( t ) × ( 0 , t ) (0,s_{\beta}(t)\times(0,t) (0,sβ(t)×(0,t) 来关注物理解。损失函数如下:
论文中实验结果:
复现的实验结果:
The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 4.64e-04.
The s(t) relative L 2 L_2 L2-error is 3.32e-04.
这种类型的逆问题也叫移动边界设计问题,这里的目标是找到满足方程 (3.1)-(3.6) 的解,并在给定自由边界 s ( t ) s(t) s(t) 信息的情况下恢复狄利克雷和诺伊曼边界条件 ( 3.18 ) (3.18) (3.18) 。
论文中实验结果:
复现实验结果:
The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 2.48e-03.
The u θ u_{\theta} uθ(0,t) relative L 2 L_2 L2-error is 3.32e-03.
The ∂ u θ ∂ x \frac{\partial u_{\theta}}{\partial x} ∂x∂uθ(0,t) relative L 2 L_2 L2-error is 5.39e-03.
给定少量测试点 { u ( x d a t a j , t d a t a j ) } j = 1 M \{u(x_{data}^j, t_{data}^j)\}_{j=1}^M {u(xdataj,tdataj)}j=1M,我们想得到在域 Ω \Omega Ω 上符合热方程(3.1)的 u ( x , t ) u(x,t) u(x,t),以及未知边界符合(3.4)-(3.6)的 s ( t ) s(t) s(t),这样不需要任何初始或边界条件,这是接近许多现实的应用,这样的信息可能难以获得。为了解决这个问题,依然用两个神经网络 u θ ( x , t ) , s β ( t ) u_{\theta}(x,t),s_{\beta}(t) uθ(x,t),sβ(t) 近似 u ( x , t ) , s ( t ) u(x,t),s(t) u(x,t),s(t)。损失函数如下所示:
The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 2.83e-03.
The s(t) relative L 2 L_2 L2-error is 4.11e-04.
The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 6.35e-04.
The s(t) relative L 2 L_2 L2-error is 2.78e-04.
复现实验结果:
The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 2.71e-03.
The s(t) relative L 2 L_2 L2-error is 1.06e-03.
复现实验结果:
The u(x,t) relative L 2 L_2 L2-error is 1.71e-03.
The s(t) relative L 2 L_2 L2-error is 2.94e-04.
略
[1] Deep learning of free boundary and Stefan problems
[2] https://github.com/PredictiveIntelligenceLab/DeepStefan