数学术语之源——平凡(trivial)与非平凡(nontrivial)

1. 平凡(trivial)与非平凡(nontrivial)

1.1 trivial 的词源

         词义“ordinary(平凡的)”(1850年代)；词义“insignificant(不重要的), trifling(微不足道的)”(1590年代)，来自拉丁词“trivialis ”，词义为“common(常见的), commonplace(平凡的), vulgar(庸俗的),” 字面意思“of or belonging to the crossroads (关于或属于十字路口的)，” 来自“trivium ”，词义“place where three roads meet(三条路的路口交叉的位置),” 引申义指“an open place, a public place(一个开放的地点，一个公共的地点),” 由前缀“tri-”(three)+“via”(road)构成。与之相联系的意义是“公共的(public)”,因此，是“common(常见的), commonplace(平凡的),”。也就是说，词义 “平凡的，普通的，俗的”是其引申词义。

    这个词在英语中最早使用是始于15世纪早期，是学术意义上“关于三艺”(文科艺术(liberal arts)的前三科——语法(grammar),修辞(rhetoric)和逻辑(logic))的单独借用；来自中古拉丁语“trivialis”，词义是“of the first three liberal arts(文科艺术的前三科)”，这个词又派生自“trivium”,拉丁词形容词“trivius”的中性，词义为“of three roads, of the crossroads (关于三条道口，关于交叉路口)。”

1.2 trivial 引入代数学及其数学含义

    在“关于双周期函数的第二篇论文(Deuxième mémoire sur les fonctions doublement périodiques)”中，<<纯粹与应用数学杂志>>(Journal de Mathématiques Pures et Appliquées)，tom.xix.(1854年)，第193-208页，Cayley写道，“我首先假设 2k + 1 等于 1，这个变换可以说是平凡的。” [我首先假设 2 k + 1 可能等于 1，这是一种可以称之为“平凡”的变换(I first suppose that 2k + 1 may be equal to unity, a transformation that one could call “trivial”)。]

    在伦敦皇家学会哲学汇刊(Philosopohical Transactions of the Royal Society of London)(1856 年)的“第二本关于量子学的回忆录(A Second Memoir Upon Quantics)”中，Cayley在脚注中写道：“几乎没有必要说明，乘数……以及通常没有明确说明的包含集合{a, b, c, ...}的任何系数或量，被视为集合的独立性，或者使用一个方便的词，被视为“平凡的”(It is hardly necessary to remark, that the multipliers ... and generally any coefficients or quantities not expressly stated to contain the set {a, b, c, ...}, are considered as independent of the set, or to use a convenient word, are considered as ‘trivials’)。

    《牛津英语词典》引用了以下引文进行说明：R. D. Carmichael在“丢番图分析(Diophantine Analysis)”(1915年, 第28页) 一文中写道：“我们因此确定了这样一个事实，即方程(2) 至少有一个非平凡的积分解。” G. Birkhoff & S. MacLane 在<<现代代数概览>>(Survey of Modern Algebra)(1941年,第135页)中写道：“自反性质是平凡的(每个群通过恒等变换都同构于自身)。”

    综上，在数学上，“trivial”这个词译为“平凡”是贴切的，正如其义，就是很简单的，显而易见，不重要的，或者说不是我们特别感兴趣的，意义不大的。反之，就称为非平凡的(nontrivial)，我们感兴趣的，具有一定意义的。比如：

(1) 我们称系数全为零的线性组合为平凡线性组合，因为我们对这种情况没有兴趣，没有意义。

(2) 我们称齐次线性方程组 AX = 0 的通解 x = 0 为平凡解，这是显见的，但不是我们感兴趣的，我们感兴趣的是非平凡的解，即,使得AX = 0 成立的x ≠ 0 的解。 

参考资料：

Earliest Known Uses of Some of the Words of Mathematics (T)

trivial | Search Online Etymology Dictionary

<> Michael Artin, 2th