算法-动态规划/中心扩散法-最长回文子串

算法-动态规划/中心扩散法-最长回文子串

1 题目概述

1.1 题目出处

https://leetcode.cn/problems/longest-palindromic-substring

1.2 题目描述

2 动态规划

2.1 思路

dp[i][j] 表示[i,j]之间的字符串是否是回文。
那么，如果chars[i] = chars[j]时，就有可能构成的子串为回文：

1. 如果j - i < 3，则子串肯定是回文。比如 aba、aa、a
2. 如果j - i >=3，则就会用到动态规划了，即 dp[i][j] = dp[i+1][j-1]，也就是说 i的下一个字符和j的前一个字符组成的闭区间子串是否是回文，只要是那么本子序列也是。
3. 这里有个重要的点，表达式为dp[i][j] = dp[i+1][j-1]，也就是说i取决于i+1，j取决于j-1，所以遍历时需要i从大到小计算，而j需要从小到大计算。
4. 遍历过程中，每当判断子序列为回文，就和之前已经找到的最大回文长度的比较，如果更长就更新，并记录下i、j
5. 最后将字符串从i、j取子序列即可

2.2 代码

public class Solution {

    public String longestPalindrome(String s) {
        // 表示[i,j]之间的字符串是否是回文
        boolean[][] dp = new boolean[s.length()][s.length()];
        for(int i = 0; i < s.length(); i++) {
            // 定义同一个位置的为true
            dp[i][i] = true;
        }

        int maxLength = 0;
        int left = 0, right = 0;

        for (int i = s.length() - 1; i >= 0; i--) {
            for (int j = i + 1; j < s.length(); j++) {
                if (s.charAt(i) == s.charAt(j)) {
                    if (j - i < 3) {
                        dp[i][j] = true;
                    } else {
                        dp[i][j] = dp[i+1][j-1];
                    }
                    if (dp[i][j] && (j - i + 1 > maxLength)) {
                        maxLength = j - i + 1;
                        left = i;
                        right = j;
                    }
                }
            }
        }
        
        return s.substring(left, right+1);
    }

}

2.3 时间复杂度

O(N^2)

2.4 空间复杂度

O(N^2)

3 中心扩散

3.1 思路

从左到右移动，每当移动一次后，往两边扩散，直到两侧边界字符不符合回文规则。

3.2 代码

public class Solution {
    int maxLength = 0;
    int left = 0, right = 0;

    public String longestPalindrome(String s) {
        for (int i = 0; i < s.length() - 1; i++) {
            // 字符串奇数长度时，中间一个字符串往两边扩散
           spread(i, i, s);
           // 字符串偶数长度时，中间两个字符串往两边扩散
           spread(i, i+1, s);
        }
        
        return s.substring(left, right+1);
    }

    private void spread(int i, int j, String s) {
        while (i >= 0 && j < s.length()) {
            if (s.charAt(i) != s.charAt(j)) {
                break;
            } 
            i--;
            j++;
        }

        // 把多减了、加了的补上
        i++;
        j--;

        if (j - i + 1 > maxLength) {
            left = i;
            right = j;
            maxLength = j - i + 1;
        }
    }
}

3.3 时间复杂度

O(N^2)

3.4 空间复杂度

O(1)

参考文档

• 动态规划、中心扩散
• 图解马拉车算法