算法-动态规划-最长递增子序列

算法-动态规划-最长递增子序列

1 题目概述

1.1 题目出处

https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/

1.2 题目描述

2 动态规划

2.1 思路

思考如果以dp[i]表示i位置的字符的最长递增子序列长度，那么很难找到dp[i]和dp[i-1]的关系，因为dp[i]没有携带是否取当前位置字符的信息。

那么我们以dp[i]表示以位置i结尾的字符的最长递增子序列长度，那么就可以找到dp[i]和dp[i-1]、dp[i-2] …的关系，只要nums[j] < nums[i]，则j 和 i就能组成递增子序列 ，我们从i-1比较到0，取dp[j]最大值+1作为dp[i]的值即可。

2.2 代码

class Solution {
    int result = 0;
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        if (nums.length == 0) {
            return result;
        }
        // 表示以指定位置结尾的最长递增子序列
        int[] dp = new int[nums.length];
        for (int i = 0; i < dp.length; i++) {
            dp[i] = 1;
            for (int j = i - 1; j >= 0; j--) {
                if (nums[j] < nums[i]) {
                    dp[i] = Math.max(dp[j] + 1, dp[i]);
                }
            }
            result = Math.max(result, dp[i]);
        }
        return result;
    }
}

2.3 时间复杂度

O(N^2)

2.4 空间复杂度

O(N)

3 二分查找

3.1 思路

3.2 代码

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        List<Integer> resultList = new ArrayList<>();
        resultList.add(nums[0]);
        for (int i = 1; i < nums.length; i++) {
            int lastIndex = resultList.size() - 1;
            if (nums[i] < resultList.get(lastIndex)) {
                // 比当前子序列尾元素还小，需要替换放入合适位置
                // 规则是替换掉resultList中最小的比当前元素nums[i]大的元素
                int m = 0, n = lastIndex;
                while (m < n) {
                    int mid = (m + n) / 2;
                    if (resultList.get(mid) < nums[i]) {
                        m = mid + 1;
                    } else if (resultList.get(mid) > nums[i]) {
                        n = mid - 1;
                    } else {
                        m = mid;
                        break;
                    }
                }
                if (nums[i] <= resultList.get(m)) {
                    resultList.set(m, nums[i]);
                } else {
                    resultList.set(m + 1, nums[i]);
                } 
                
            } else if (nums[i] > resultList.get(lastIndex)) {
                // 直接加入上升序列
                resultList.add(nums[i]);
            }
        }
        return resultList.size();
    }
}

3.3 时间复杂度

O(NlogN)

3.4 空间复杂度

O(K) K为最长子序列长度

4 记忆化DFS

4.1 思路

每个节点计算时，要么就在满足要求时将下一个节点加入当前序列；要么就舍弃当前节点，让前序节点和下一个节点继续判断是否可组成递增序列。这就是分支，所以可考虑使用DFS，并且将结果缓存增加效率。

4.2 代码

class Solution {
    public int lengthOfLIS(int[] nums) {
        int[][] cache = new int[nums.length+1][nums.length];
        for(int[] arr : cache) {
            Arrays.fill(arr,-1);
        }
        return dfs(nums, -1, 0, cache);
    }
    
    private int dfs(int[] nums, int pre, int cur, int[][] cache) {
        if (cur == nums.length) {
            return 0;
        }
        if (cache[pre + 1][cur] > -1) {
            return cache[pre + 1][cur];
        }
        
        int select = 0;

        if (pre < 0 || nums[pre] < nums[cur]) {
            // 当前节点加入前节点的序列
            select = dfs(nums, cur, cur + 1, cache) + 1;
        }

        // 不选择当前节点，即跳过本节点
        int notSelect = dfs(nums, pre, cur + 1, cache);
        
        // 记忆结果
        cache[pre + 1][cur] = Math.max(select, notSelect);

        return cache[pre + 1][cur];
    }
}

4.3 时间复杂度

参考文档

• https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/solutions/198897/chao-xiang-xi-tu-jie-di-gui-dong-tai-gui-hua-er-fe/
• https://leetcode.cn/problems/longest-increasing-subsequence/solutions/896590/yi-ti-shuang-jie-tu-jie-yuan-li-ji-chu-d-ptpz/
• 最全最长上升子序列类问题：LIS长度，一个LIS，LIS的个数，所有LIS