计算机图形学GAMES101（三）变换（模型、视图、投影）

补充内容

R_θ是逆时针方向旋转的矩阵
R_-θ是顺时针方向旋转的矩阵
可以发现R_θ^T=R_θ^-1 ，像这样的矩阵叫做正交矩阵。以后如果要求往相反的方向旋转相同角度的变换（R_-θ），只需要求正向旋转的矩阵然后转置就可以了

本节涉及内容：

仿射变换：线性变换+平移

三维空间中的变换矩阵格式：

3D旋转

任意一个旋转都可以被分解为绕着X，Y，Z轴的旋转 即：

α β γ这三个角叫做欧拉角（Euler angles）

罗德里格斯公式

该公式将解决了绕着任意方向的旋转
表示绕着向量n旋转α°可以使用下面这个公式。

变换的最终目的是让三维空间的物体变为二维空间的一张照片。这样才能在电脑上面展示出来。

怎么理解模型、视图、投影变换

我们拍一张照片需要摆动作（模型变换）
动作摆好后，需要找一个好的拍摄角度（视图变换）
拍照 （投影变换，将三维物体投影到二维的平面上面）

怎么去定义视图变换

想要唯一的确定一个视角，首先需要定义相机在什么位置e（x，y，z），定义了相机的位置之后需要定义相机的朝向$g$，确定朝向后相机仍可以绕着$g$旋转，所以还需要一个$t$来确定相机的向上方向，用来确定图片哪个方向是上方。
​
如果摄像机和场景中所有的东西一起移动的话，那么整个场景在摄像机中的画面还是相对保持不变。
一般情况下相机的位置位于原点，相机永远朝向-Z方向，相机的向上方向为Y方向。
这样图形变换的时候视角不需要改变只改变物体的位置即可。

现在需要将一个不在标准位置的视角变为标准位置

变为

那么我们需要做以下操作

首先需要将视图位置e移到原点

考虑到要将g旋转到-Z，t旋转到Y，（g x t）旋转到X比较难，所以先求其逆变换，然后通过正交矩阵的性质求原矩阵（R^T=R^-1）。
其逆变换就是

利用R^T=R^-1求得

至此就求出来视图变换得矩阵

投影

正交投影：无论观看者在哪里，物体大小维持不变。没有近大远小，正交投影的视图是一个平面，所以物体大小不变，只是映射到一个平面上。
透视投影：近大远小，透视投影的视图是一个点，所以会改变物体大小，与我们日常习惯相符。

正交投影

计算机中正交投影对于一个物体的处理过程
我们要投影的立方体左（l） 右（r）是在x轴的值
我们要投影的立方体下（b）上（t）是在y轴的值
我们要投影的立方体远（f）近（n）是在z轴的值

1、将物体中心点平移到原点
2、将其缩放成一个标准 111 的立方体

计算过程：
只需要乘以矩阵M_ortho即可

透视投影

步骤

1、first “squish” the frustum into a cuboid (n->n,f->f)（M_persp->ottho）
首先把“截锥”挤压成一个长方体(n->n,f->f) 得到矩阵M_persp->ottho
2、Do orthographic projection
做正交投影，即M_ortho*M_persp->ottho

怎么去挤压

挤压得实质就是求一个挤压矩阵M_persp->ottho
红色的两个三角形形成一对相似三角形

挤压x和y变为：

使用齐次坐标表示并且写成矩阵乘法的形式

下面可以通过矩阵乘法反推出M_persp->ottho

M_persp->ottho的最终结果：

得到M_persp->ottho后只要再做一次正交投影就可以完成透视投影了
M_persp为透视投影的变换矩阵