差分（一维+二维超详细）

差分

题目1-一维差分-差分数组

输入一个长度为 n 的整数序列。

接下来输入 m 个操作，每个操作包含三个整数 l,r,c，表示将序列中 [l,r] 之间的每个数加上 c。

请你输出进行完所有操作后的序列。

输入格式
第一行包含两个整数 n 和 m。

第二行包含 n 个整数，表示整数序列。

接下来 m 行，每行包含三个整数 l，r，c，表示一个操作。

输出格式
共一行，包含 n 个整数，表示最终序列。

数据范围
1≤n,m≤100000,
1≤l≤r≤n,
−1000≤c≤1000,
−1000≤整数序列中元素的值≤1000
输入样例：
6 3
1 2 2 1 2 1
1 3 1
3 5 1
1 6 1
输出样例：
3 4 5 3 4 2

//算法思想：关键在于理解差分数组的定义。

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

const int N=100010;

int q[N],w[N];

void insert(int l,int r,int c){
    w[l]+=c;
    w[r+1]-=c;
}

int main(){

    int m,n;
    cin>>m>>n;
    for(int i=1;i<=m;i++) {
        scanf("%d",&q[i]);//w表示差分数组
        w[i]=q[i]-q[i-1]; //定义q数组的差分数组w数组。
    }

    while(n--){
        int l,r,c;
        scanf("%d%d%d",&l,&r,&c);
        insert(l,r,c);

    }

      for(int i=1;i<=m;i++){
        w[i]=w[i-1]+w[i];//求出差分数组的前缀和作为最终结果的输出。
        printf("%d ",w[i]);
    }

    return 0;
}

算法思想：差分数组的前缀和是原始的数组。根据这一性质，在查分数组的某个位置加上3之后，对应位置后面的前缀和也会加上3（因为计算前缀和的过程中，后面的数的生成是需要加上这个已经 加上了过3的这个数的，所以后面的每个数都会加上这个3），每次写类似题目时候，需要在纸上模拟一下差分数组的计算过程并总结出规律即可。

题目2 二维差分-差分矩阵

输入一个 n 行 m 列的整数矩阵，再输入 q 个操作，每个操作包含五个整数 x1,y1,x2,y2,c，其中 (x1,y1) 和 (x2,y2) 表示一个子矩阵的左上角坐标和右下角坐标。

每个操作都要将选中的子矩阵中的每个元素的值加上 c。

请你将进行完所有操作后的矩阵输出。

输入格式
第一行包含整数 n,m,q。

接下来 n 行，每行包含 m 个整数，表示整数矩阵。

接下来 q 行，每行包含 5 个整数 x1,y1,x2,y2,c，表示一个操作。

输出格式
共 n 行，每行 m 个整数，表示所有操作进行完毕后的最终矩阵。

数据范围
1≤n,m≤1000,
1≤q≤100000,
1≤x1≤x2≤n,
1≤y1≤y2≤m,
−1000≤c≤1000,
−1000≤矩阵内元素的值≤1000
输入样例：
3 4 3
1 2 2 1
3 2 2 1
1 1 1 1
1 1 2 2 1
1 3 2 3 2
3 1 3 4 1
输出样例：
2 3 4 1
4 3 4 1
2 2 2 2

#include
#include
#include
#include

using namespace std;

const int N=1010;

int q[N][N],w[N][N];
//q表示原矩阵，w表示差分矩阵。


//构造b[n]看起来很难，其实根本就不用刻意去构造它。
//如果将a数组中[l,r]部分的数据全部加上c看作一次插入操作，那么
//构造的过程可以看作是将a进行了n次插入操作。第一次在[1,1]的范
//围插入了a[1],第二次在[2,2]范围插入a[2]，第二次在[3,3]范围插
//入a[3]……，以此类推，进行n次插入后，那么数组a就正好是数组b的前缀和了。


void insert(int x1,int y1,int x2,int y2,int c){
    w[x1][y1]+=c;
    w[x2+1][y1]-=c;
    w[x1][y2+1]-=c;
    w[x2+1][y2+1]+=c;
}

int main(){

    int n,m,num;
    cin>>n>>m>>num;
    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            cin>>q[i][j];
            insert(i,j,i,j,q[i][j]); //初始化差分数组
        }
    }

    while(num--){
        int x1,y1,x2,y2,c;
        scanf("%d %d %d %d %d",&x1,&y1,&x2,&y2,&c);
        insert(x1,y1,x2,y2,c);
    }

    for(int i=1;i<=n;i++){
        for(int j=1;j<=m;j++){
            w[i][j]+=w[i-1][j]+w[i][j-1]-w[i-1][j-1];//矩阵的前缀和
            //由于数组w的前缀和是q，所以在这要输出w数组的前缀和，才是改动后的数组q
            printf("%d ",w[i][j]);
        }
        printf("\n");
    }

    return 0;
}

算法思想：同样的差分思想，只不过变成了二维，差分数组的前缀和是原始的数组。