普里姆算法解决修路问题
一 问题提出
1 胜利乡有7个村庄(A, B, C, D, E, F, G)，现在需要修路把7个村庄连通。
2 各个村庄的距离用边线表示(权) ，比如 A – B 距离 5公里。
问：如何修路保证各个村庄都能连通，并且总的修建公路总里程最短?
思路
错误思路：将10条边，连接即可，但是总的里程数不是最小。
正确思路：尽可能的选择少的路线，并且每条路线最小，保证总里程数最少。
二 最小生成树
修路问题本质就是就是最小生成树问题， 先介绍一下最小生成树(Minimum Cost Spanning Tree)，简称MST。
1 给定一个带权的无向连通图,如何选取一棵生成树,使树上所有边上权的总和为最小,这叫最小生成树。
2 该树有N个顶点，则一定有N-1条边。
3 该树包含全部顶点。
4 N-1条边都在图中。
5 求最小生成树的算法主要是普里姆算法和克鲁斯卡尔算法。
最小生成树的图示如下
三 普里姆算法
普利姆(Prim)算法求最小生成树，也就是在包含n个顶点的连通图中，找出只有(n-1)条边包含所有n个顶点的连通子图，也就是所谓的极小连通子图。
算法如下。
1 设G=(V,E)是连通网，T=(U,D)是最小生成树，V,U是顶点集合，E,D是边的集合。
2 若从顶点u开始构造最小生成树，则从集合V中取出顶点u放入集合U中，标记顶点v的visited[u]=1
3 若集合U中顶点ui与集合V-U中的顶点vj之间存在边，则寻找这些边中权值最小的边，但不能构成回路，将顶点vj加入集合U中，将边（ui,vj）加入集合D中，标记visited[vj]=1
4 重复步骤②，直到U与V相等，即所有顶点都被标记为访问过，此时D中有n-1条边。
四 实战
1 要求
用代码实现开篇提出的修路问题。
2 代码
import java.util.Arrays;
/**
* @className: PrimAlgorithm
* @description: 普里姆算法
* @date: 2021/3/31
* @author: cakin
*/
public class PrimAlgorithm {
/**
* 功能描述：普里姆算法测试
*
* @param args 命令行
* @return
* @author cakin
* @date 2021/3/31
*/
public static void main(String[] args) {
// 图的顶点
char[] data = new char[]{'A', 'B', 'C', 'D', 'E', 'F', 'G'};
// 顶点的个数
int verxs = data.length;
// 邻接矩阵的关系使用二维数组表示,10000这个大数，表示两个点不联通
int[][] weight = new int[][]{
{10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2},
{5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3},
{7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000},
{10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000},
{10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4},
{10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6},
{2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000},};
// 创建 MGraph 对象
MGraph graph = new MGraph(verxs);
// 创建 MinTree 对象
MinTree minTree = new MinTree();
minTree.createGraph(graph, verxs, data, weight);
// 输出图
minTree.showGraph(graph);
// 普利姆算法
minTree.prim(graph, 1);//
}
}
/**
* @className: PrimAlgorithm
* @description: 最小生成树
* @date: 2021/3/31
* @author: cakin
*/
class MinTree {
/**
* 功能描述：图的邻接矩阵
*
* @param graph 图对象
* @param verxs 图对应的顶点个数
* @param data 图的各个顶点的值
* @param weight 图的邻接矩阵
*/
public void createGraph(MGraph graph, int verxs, char data[], int[][] weight) {
int i, j;
for (i = 0; i < verxs; i++) {//顶点
graph.data[i] = data[i];
for (j = 0; j < verxs; j++) {
graph.weight[i][j] = weight[i][j];
}
}
}
/**
* 功能描述：显示图的邻接矩阵
*
* @param graph 图
* @author 贝医
* @date 2021/3/31
*/
public void showGraph(MGraph graph) {
for (int[] link : graph.weight) {
System.out.println(Arrays.toString(link));
}
}
/**
* 功能描述：prim算法，得到最小生成树
*
* @param graph 图
* @param v 表示从图的第几个顶点开始生成'A'->0 'B'->1...
*/
public void prim(MGraph graph, int v) {
// 标记结点(顶点)是否被访问过
int visited[] = new int[graph.verxs];
// 把当前这个结点标记为已访问，0表示没有访问过
visited[v] = 1;
// h1 和 h2 记录两个顶点的下标
int h1 = -1;
int h2 = -1;
int minWeight = 10000; // 将 minWeight 初始成一个大数，后面在遍历过程中，会被替换
for (int k = 1; k < graph.verxs; k++) { // 因为有 graph.verxs 个顶点，普利姆算法结束后，有 graph.verxs-1 边
// 这个是确定每一次生成的子图 ，和哪个结点的距离最近
for (int i = 0; i < graph.verxs; i++) { // i结点表示被访问过的结点
for (int j = 0; j < graph.verxs; j++) { // j结点表示还没有访问过的结点
// 寻找已经访问过的结点和未访问过的结点间的权值最小的边
if (visited[i] == 1 && visited[j] == 0 && graph.weight[i][j] < minWeight) {
// 替换minWeight
minWeight = graph.weight[i][j];
h1 = i;
h2 = j;
}
}
}
// 找到一条边是最小
System.out.println("边<" + graph.data[h1] + "," + graph.data[h2] + "> 权值:" + minWeight);
// 将当前这个结点标记为已经访问
visited[h2] = 1;
// minWeight 重新设置为最大值 10000
minWeight = 10000;
}
}
}
/**
* @className: PrimAlgorithm
* @description: 图
* @date: 2021/3/31
* @author: cakin
*/
class MGraph {
// 表示图的顶点个数
int verxs;
// 存储结点数据
char[] data;
// 存放边，也就是邻接矩阵
int[][] weight;
public MGraph(int verxs) {
this.verxs = verxs;
data = new char[verxs];
weight = new int[verxs][verxs];
}
}3 测试
[10000, 5, 7, 10000, 10000, 10000, 2]
[5, 10000, 10000, 9, 10000, 10000, 3]
[7, 10000, 10000, 10000, 8, 10000, 10000]
[10000, 9, 10000, 10000, 10000, 4, 10000]
[10000, 10000, 8, 10000, 10000, 5, 4]
[10000, 10000, 10000, 4, 5, 10000, 6]
[2, 3, 10000, 10000, 4, 6, 10000]
边 权值:3
边 权值:2
边 权值:4
边 权值:5
边 权值:4
边 权值:7