2021-08-06-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P070 例10）
设是的一个子集,的元素个数.证明,中有个不同的数,使得.
证明
每个正整数可唯一地表示为的形式,其中,为奇数,我们称为的奇数部分,并且若的奇数部分不超过,则称为好数.这里的证明,基于中好数个数的下界估计.为此,我们首先计数在区间中有多少个好数.
设区间中共有个奇数(实际上等于,但我们并不需要一点).设是任意一个这样的奇数,则满足的整数恰有个.这只要注意,设整数满足,则是全部符合要求的数,即在区间中奇数部分为的数共有个,故其中恰有个好数.因此这区间中非好数有个,从而中好数的个数个.
设是中的全部奇数,并设中恰有个数以为奇数部分,则由上一段的结论,中好数的个数为
,
从而必有一个,使得,即中至少有个整数具有相同的奇数部分,这些数从小到大排列为,即为符合要求的个数,证毕.
2021-08-06-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P071 例11）
设是正整数的元集合.证明,有一个子集,满足,且对任意,有.
证明
记中的数为.模为的素数有无穷多个,故可取一个这样的素数,设.考虑下面(行列的)个数
(1)
由于;,故.因此(1)中每一列数均构成模的一个完系,从而对每个,(1)中的数共有个模为,于是模为k,之一的数共有个.
设(1)中第行中共有个数模为之一.则上面的论证表明
.
故有一个满足
,
即有一个,使中模为之一的个数大于,我们取
,
则符合要求:因为对任意,易知模的余数或,或,从而.
2021-08-06-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P072 例12）
给定.证明,存在个互不相同的正整数具有下述性质:
(1)这些数两两互素;
(2)这些数中任意个数的和都是合数.
证明
时结论显然成立.设已有个正整数符合要求,下面基于此造出个符合要求的数.
由于素数有无穷多个,故可取个互不相同且均与互素的素数.将由中任取个所作成的个和记为,其中时的和就是数.
因为,故有使得.由中国剩余定理,同余式组
(1)
有无穷多个正整数解.我们取定一个解,并将(1)中同余式两边同乘,得到
.(2)
令,则这个数符合要求:因为,故;而(2)意味着有约数,故对任意是合数.而由的构作,它当然与每个互素.这就完成了归纳构造.
2021-08-06-04
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数论 余红兵 竞赛问题选讲(二) P073 例13）
求所有的正整数,使得存在正整数,满足
(1)
其中表示的正约数的个数.
解
必是奇数,因此满足(1)的一定是奇数.下面证明每个正奇数k均符合要求.
显然符合要求.对,由的计算公式可知,问题等价于证明,存在正整数,使得
.(2)
现假设小于的奇数均符合要求,对于奇数,可设,这里,为奇数.由易知,故由归纳假设知,有,使得
.(3)
我们现在取两个待定整数及,满足,以及
.(4)
显然,若能找到符合上述要求的和,则将(3)与(4)相乘,即得出了关于的形如(2)的表示,从而证明了符合要求,即完成了归纳构造.
事实上,(4)可化为
,
此即(注意),
因此,只要取,则,相应的为正整数,且被整除.证毕.