【机器学习笔记1.1】线性回归之正规方程求解

线性回归概述##

我们先考虑最简单的一种情况，即输入属性的数目只有一个，线性回归试图学得[1]
$$f(x_i)=w{x}_i+b，使得f(x_i)\approx y_i\text{\hspace{1em}(1)}$$
那么如何确定$w$和b呢？关键在于如何衡量$f(x)$与y之间的差别。
均方误差是回归任务重最常用的性能度量，因此我们可以试图让均方误差最小化，即
\begin{equation}
(w^, b^) = \mathop{\arg\min}{(w, b)} \mathop{\sum}{i=1}^m (f(x_i) - y_i)^2 \tag{2}
\end{equation}
基于均方误差最小化来进行模型求解的方法称为“最小二乘法”（least square method）。
为了方便，我们这里用向量的形式来表达。令 $
\vec{w} =
\left[ \begin{array}{ccc}
w \
b \end{array} \right]$，$\vec{x}_i =
\left[ \begin{array}{ccc}
x_i \
1 \end{array} \right]$，则$f(\vec{x}_i) = \vec{w}^T\vec{x}iKaTeX parse error: No such environment: equation at position 19: …(2)式可表示为 \begin{̲e̲q̲u̲a̲t̲i̲o̲n̲}̲ (\vec{w}^*) =…E(\vec{w}) = \mathop{\sum}{i=1}^m (\vec{w}^T\vec{x}_i - y_i)^2$，用矩阵的形式可将其写做[2]$KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\matrix' at position 25: …) = (\vec{y} - \̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{X}\vec{w})^T(\…$ 其中$\vec{y} =
\left[
\begin{matrix}
y_1 \
y_2 \
\vdots \
y_m
\end{matrix}
\right],
\matrix{X} =
\left[
\begin{matrix}
x_1 & 1\
x_2 & 1\
\vdots & \vdots \
x_m & 1
\end{matrix}
\right]
$

现在就是要求$E(w)$的最小值，将$E(w)$对$w$求导得KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\matrix' at position 51: …l \vec{w}} = -2\̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{X}^T(\vec{y} -…
求导过程如下：

令$$\frac{\partial E(w)}{\partial w}=0\text{\hspace{1em}(6)}$$解得KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\matrix' at position 15: \vec{w}^@ = (\̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{X}^T\matrix{X}…
(注意：$w$上方的^markdown语法不会，这里用@符号代替)
式(6)中的$w$是一个向量，因此式(6)实际上是一个方程组，若式(6)有解(即要求KaTeX parse error: Expected 'EOF', got '\matrix' at position 1: \̲m̲a̲t̲r̲i̲x̲{X}^T\matrix{X}可逆)，则我们称这个方程组为正规方程(Normal Equation) [3][4]。
$w$上方的小标记表示，这是当前可以估计出的最优解。从现有数据上估计出的$w$可能并不是数据中的真实$w$值，所以这里使用了一个“帽”符号来表示它仅仅是$w$的一个最优估计。
上述公式中需要对矩阵求逆，因此这个式子只在逆矩阵存在的时候适用。然而并不是所有矩阵的逆都存在，当矩阵逆不存在的时候该怎么办呢？这一点在后面将会讲到。

##代码示例##
regression.py[2]

'''
Created on Jan 8, 2011

@author: Peter
'''
from numpy import *

def loadDataSet(fileName):      #general function to parse tab -delimited floats
    numFeat = len(open(fileName).readline().split('\t')) - 1 #get number of fields 
    dataMat = []; labelMat = []
    fr = open(fileName)
    for line in fr.readlines():
        lineArr =[]
        curLine = line.strip().split('\t')
        for i in range(numFeat):
            lineArr.append(float(curLine[i]))
        dataMat.append(lineArr)
        labelMat.append(float(curLine[-1]))
    return dataMat,labelMat

def standRegres(xArr,yArr):
    xMat = mat(xArr); yMat = mat(yArr).T
    xTx = xMat.T*xMat
    if linalg.det(xTx) == 0.0:
        print("This matrix is singular, cannot do inverse")
        return
    ws = xTx.I * (xMat.T*yMat)
    return ws

main.py

import regression
from numpy import *
xArr, yArr = regression.loadDataSet('ex0.txt')
# 用线性回归求得最佳拟合直线的参数
ws = regression.standRegres(xArr, yArr)

xMat = mat(xArr)
yMat = mat(yArr)
# 使用新的ws来计算yHat
yHat = xMat * ws

import matplotlib.pyplot as plt
fig = plt.figure()

#画出数据集散点图
ax = fig.add_subplot(111)
ax.scatter(xMat[:, 1].flatten().A[0], yMat.T[:, 0].flatten().A[0])

xCopy = xMat.copy()
xCopy.sort(0)

yHat = xCopy*ws
# 画出最佳拟合直线
ax.plot(xCopy[:, 1].A, yHat.A)
plt.show()

##如何判断模型的好坏##
几乎任一数据集都可以用上述方法建模，那么，如何判断这些模型的好坏呢？[2]比较一下下图中的两个子图，如果在两个数据集上分别作线性回归，将得到完全一样的模型（拟合直线）。显然两个数据是不一样的，那么模型分别在二者上的效果如何？我们当如何比较这些效果的好坏呢？有种方法可以计算预测值yHat序列和真实值y序列的匹配程度，那就是计算这两个序列的相关系数。

##用正规方程求解时矩阵$X^{T}X$不可逆时的解决办法##
关于不可逆矩阵，我们也称之为奇异或退化矩阵。矩阵不可逆的情况通常有以下几种[3-4.7]：

1. 特征之间不独立，如同时包含英尺为单位的尺寸和米为单位的尺寸这两个特征，例如在预测住房价格时，如果$x_1$是以英尺为尺寸规格计算的房子，$x_2$是以平方米为尺寸规格计算的房子，同时，你也知道1米等于3.28英尺，这样，你的这两个特征值将始终满足约束：$x_1=x_2\ast (3.28{)}^2$；
2. 特征数量大于训练集的数量。例如，有m=10个训练样本，n=100个特征，这时候参数θ是一个101维的向量(其中一个是常数项)。尝试从10个训练样本中学得101个参数的值是比较困难的。
   对于那些不可逆的矩阵，正规方程方法是不能用的。
   那么当矩阵不可逆时该怎么办呢？首先，看特征值里是否有一些多余的特征，如果有多余的就删掉，直到他们不再是多余的为止。其次，我们还可以使用一种叫做正则化的线性代数方法。如此即使你有一个相对较小的训练集，也可使用很多的特征来找到很多合适的参数。

另外也可以采用梯度下降法来求解矩阵不可逆时的最优解(me: 用正规方程得到的是真实解，用梯度下降得到的最优解)。梯度下降与正规方程的比较如下表所示：[3-4.6]

梯度下降	正规方程
需要选择学习率α	不需要
需要多次迭代	一次运算得出
当特征数量n大时也能较好适用	需要计算$X^{T}X$， 如果特征数量n较大则运算代价大， 因为矩阵求逆的计算时间复杂度为$O(n^3)$， 通常来说当n<10000时还是可以接受的
适用各种类型的模型	只适用于线性模型，不适合逻辑回归模型等其他模型

##参考文献##
[1] 周志华. 机器学习
[2] Peter. 机器学习实战
[3] 黄海广. MIT 机器学习教程
[4] https://baike.baidu.com/item/正规方程/10001812?fr=aladdin

最小二乘法可以将误差方程转化为有确定解的代数方程组（其方程式数目正好等于未知数的个数），从而可求解出这些未知参数。这个有确定解的代数方程组称为最小二乘法估计的正规方程（或称为法方程）。