1+2+3+...+正无穷=-1/12

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Introduction

我们知道，无穷级数中1 + 2 + 3 + 4 + … 为所有自然数的和，是一个发散级数，尽管这个级数的和第一眼看起来不会有任何有意义的值，透过黎曼ζ函数正规化与拉马努金求和等方法可产生一有限值，即为-1/12，表示为：

1 + 2 + 3 + ... = -1/12

此结果在复分析、量子力学及弦理论等领域中有所应用。

The process of proof

T1 = １－１＋１－１＋１－１+ …
T2 = １－２＋３－４＋５－６+ …
T = １＋２＋３＋４＋５＋６＋ …

也就是说，T是我们要解的问题，而另外两个数列是用来求解T的过程中需要用到的工具，一旦能解开T1、T2，T便能迎刃而解。

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那么，就先来看看T1，

T1＝１－１＋１－１＋１－１＋…

你看到这个问题，直觉会认为答案应该是「0」，因为：

T1＝（１－１）＋（１－１）＋（１－１）＋…
　  ＝（　０　）＋（　０　）＋（　０　）＋…

如果像上头一样把所有的１、－１全部用括弧分组，那么每组括弧里刚好可以正负相抵，最后T1的答案是０。然而，我们也可以把括弧的位置调整一下，那么T1将可以写成下头的形式：

T1＝１+（－１＋１）+（－１＋１）＋（－１＋１）…
　  ＝１+（　０　）＋（　０　）＋（　０　）…

咦！？原本答案应该是「０」的计算式，瞬间变成了「１」！

「不知道是奇数还是偶数，那就加起来取平均吧！所以答案是０.５！」

不知道这个说法？你是否可以接受呢？

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「因为不确定是０或是１，就取平均值当答案，这未免太随便了！」相信你应该是怎么想的，不过如果T1＝０.５的结果不成立，那么接下来的推演就无法继续下去了！

事实上，要证明这个结果，除了用取平均的方式外，还有其他的方式。

另一种T1的解法如下：

首先，用１減去Ｓ1：

１－T1 ＝ １－（１－１＋１－１＋１－１＋…）
　　　  ＝１－１＋１－１＋１－１＋１＋…
　　　  ＝ T1

→　2T1 ＝ １
→　T1 ＝０.５

除了这两种方式外，也还存在其他证明方式，总之T1＝１／２应该是没有太大疑问的。

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接著我们来看T2

首先，这是T2：

T2 ＝ １－２＋３－４＋５－６＋…

那么，两倍的T2，把第二个 T2 往后顺延一格，即〔〕中的内容：

２T2 ＝ T2 ＋ T2
　　  ＝１－２＋３－４＋５－６＋…
　      ＋〔１－２＋３－４＋５－６＋… 〕

如果把两列的纵向数字（标记成同色以方便比较）直接相加：

2 T2 ＝ T2 ＋ T2
　　  ＝１－２＋３－４＋５－６＋…
　      ＋〔１－２＋３－４＋５－６＋…〕
　　  ＝１－１＋１－１＋１－１＋１…

看到「１－１＋１－１＋１－１＋１」，那不就是上头出现过的T1

于是乎：

２T2  ＝ １－１＋１－１＋１－１＋１…
　　    ＝ T1
　　    ＝１／２

→　T2  ＝１／４

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最后，终于到关键的 T 了，这次从「T－T2」出发：

T － T2 ＝ １＋２＋３＋４＋５＋６＋… 
      －〔１－２＋３－４＋５－６＋…〕
　　　 ＝ ０＋４＋０＋８＋０＋１２＋…

当 T 减去 T2 时，由于两个数列的奇数项是一致的，相减后为０；偶数列的数字相等，但正负号相反，相减后变为两倍，因此变成「4、8、12 …」以４逐渐增加的等差级数。在此，如果把４提到外头：

T － T2 ＝ ４〔　１＋ ２＋ ３ ＋ …　〕

括弧中的「１＋２＋３＋…」不就是T自身吗，然又 T2 ＝１／４，因此：

T － T2 ＝ 4T

→　3T ＝ －T2 ＝ －１／４
→　　T ＝ －１／１２

→　　T ＝ １＋２＋３＋４＋５＋６＋… ＝ －１／１２

History

在拉马努金写给戈弗雷·哈罗德·哈代的第二封信中（日期为1913年2月27日）：

“亲爱的先生，我很感激地读到你1913年2月8日的信。我等待您的答复，类似于一个伦敦的数学教授写信要我仔细研究布罗米奇的“无穷级数”而不要陷入发散级数的陷阱。……我告诉他，在我的理论中一个无穷数列 1 + 2 + 3 + 4 + … = -1/12。如果我告诉你这个，你肯定会劝我进精神病收容院。我向你细说此事只是使你相信，如果我暗示我只在一封信中所写的行数，你不可能找出我证明的方法。”

Extended reading

欧拉对 1 + 2 + 3 + · · · = −1⁄12 的证明

原文地址：www.iooy.com