CF1527D MEX Tree

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MEX Tree - 洛谷 | 计算机科学教育新生态 (luogu.com.cn)

文章目录

  • CF1527D MEX Tree
    • 题目大意
    • 基本思路
    • 询问
    • 修改
    • code

题目大意

给出一棵 n n n 个点的树,点从 0 0 0 n − 1 n - 1 n1 编号。定义一条路径的权值是路径上所有点编号的 m e x mex mex 。对于每个 0 ≤ i ≤ n 0\le i\le n 0in 求出 m e x mex mex i i i 的路径有几条。注意,这里统计的路径需要包括至少一条边。

一个集合的 m e x mex mex 定义为最小的不在集合中的非负整数。

基本思路

观察发现,我们在处理 i i i 时, 0 → i − 1 0\to i - 1 0i1 必须在一条路径上,否则后面的答案就都是 0 0 0

s z i sz_i szi 表示以 i i i 为根的子树大小

s p sp sp 表示非 0 0 0 端点所在对于 0 0 0 的对应子树大小

下面会要用到倍增求 l c a lca lca

我们就可以搞一种类似于虚树操作的做法。

这里假设 0 0 0 是根

询问

所以询问可以分成 3 3 3 种情况:

  • i i i 在当前的路径中
  • i i i 是当前路径端点的子孙
  • i i i 不属于上面的情况

然后 m e x = 0 mex = 0 mex=0 m e x = 1 mex = 1 mex=1 是特殊处理一下

m e x = 0 mex = 0 mex=0 时:

只要不经过 0 0 0 的路径都满足条件

所以答案就是 0 0 0 的所有子树里面任意选两个点的路径

m e x = 1 mex = 1 mex=1 时:

n n n 个点里面任意选两个点的方案数 − - m e x = 0 mex = 0 mex=0 的方案数

LL gs (LL x) { return x * (x - 1) / 2; }
void pre_ans () {
    ans[1] = gs (sz[0] - sz[1]);
    int y;
    for (int i = hd[0] ; i ; i = e[i].nt) {
        y = e[i].to;
        ans[0] += gs (sz[y]);
        int lca = Lca (y , 1);
        if (lca == y) ans[1] -= gs (sz[y] - sz[1]);
        else ans[1] -= gs (sz[y]);
    }
}

现在我们把其他询问分成两种情况

两个端点都不为 0 0 0,两个端点分别为 x , y x , y x,y

  • i i i 在路径上 $lca(x , i) =i \or lca (y , i) = i $

    答案就是 0 0 0

  • i i i 是当前路径端点的子孙 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 17: …ca (x , i) = x \̲o̲r̲ ̲lca (y , i) = y

    答案就是对于端点子树大小 − - s z i sz_i szi 再乘上另一端子树大小

  • 否则,答案就是 s z x ∗ s z y sz_x * sz_y szxszy

有一个点为 0 0 0 的情况,另一个端点是 x x x

  • i i i 在当前路径中 l c a ( x , i ) = i lca (x , i) = i lca(x,i)=i

    答案就是 0 0 0

  • i i i 是当前路径端点的子孙

    i i i 是不为零的那个端点的子孙 l c a ( x , i ) = x lca (x , i) = x lca(x,i)=x,那么答案就是: ( s i z [ x ] − s i z [ i ] ) ∗ ( s i z [ 0 ] − s p ) (siz[x] - siz[i]) * (siz[0] - sp) (siz[x]siz[i])(siz[0]sp)

    i i i 0 0 0 的子孙 l c a ( x , i ) = 0 lca (x , i) = 0 lca(x,i)=0 ,那么答案就是: ( s i z [ 0 ] − s p − s i z [ i ] ) ∗ s i z [ x ] (siz[0] - sp - siz[i]) * siz[x] (siz[0]spsiz[i])siz[x]

  • i i i 不属于上面的任意一种情况

    那么 i i i 就是当前路径的分叉,那么答案就是: ( s i z [ 0 ] − s p ) ∗ s i z [ x ] (siz[0] - sp) * siz[x] (siz[0]sp)siz[x]

LL gt_ans (int x) {
    int lca1 = Lca (x , l) , lca2 = Lca (x , r);
    LL ans1 , ans2;
    if (r) {
        ans1 = sz[l] , ans2 = sz[r];
        if (lca1 == x || lca2 == x) return 0;
        else if (lca1 == l) ans1 -= sz[x];
        else if (lca2 == r) ans2 -= sz[x];
    }
    else {
        ans1 = sz[l] , ans2 = sz[r] - sp;
        if (lca1 == x || lca2 == x) return 0;
        else if (lca1 == l) ans1 -= sz[x];
        else if (lca1 == 0) ans2 -= sz[x];
    }
    return ans1 * ans2;
}

修改

尝试将 i i i 加入当前路径中

1、两端都不为 0 0 0

  • i i i 已经在路径上了 KaTeX parse error: Undefined control sequence: \or at position 17: …ca (x , i) = i \̲o̲r̲ ̲lca (y , i) = i

    就不用管了

  • i i i 是其中一端的子孙 $lca(x , i) = x \or lca (y , i) = y $

    直接把那个端点设为 i i i 就好了

  • 如果不属于上面的两种情况

    那么就是分叉,直接下面的答案都为 0 0 0 就好了

2、至少有一端是 0 0 0 的情况

  • 如果两端都是 0 0 0

    直接把一端设为 i i i

  • i i i 已经在路径上了 l c a ( x , i ) = i lca (x , i) = i lca(x,i)=i

    不用管了

  • l c a ( x , i ) = x lca (x , i) = x lca(x,i)=x

    x = i x = i x=i

  • 不属于上面的情况

    1、分叉 l c a ( x , i ) ≠ 0 lca (x , i)\neq 0 lca(x,i)=0 插入失败

    2、 x ≠ 0 x \neq 0 x=0 l c a ( x , i ) = 0 lca (x , i) = 0 lca(x,i)=0 ,那么 y = i y = i y=i

bool add (int x) {
    int lca1 = Lca (l , x) , lca2 = Lca (r , x);
    if (r) {
        if (lca1 == l) {
            l = x;
            return 1;
        }
        else if (lca1 == x) return 1;
        if (lca2 == r) {
            r = x;
            return 1;
        }
        else if (lca2 == x) return 1;
    }
    else {
        if (lca1 && (lca1 != l && lca1 != x)) return 0;
        else if (lca1 == l ) {
            l = x;
            return 1;
        }
        else if (lca1 == x) return 1;
        else if (lca1) return 0;
        else {
            r = x;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}

code

#include 
#define fu(x , y , z) for(int x = y ; x <= z ; x ++) 
#define fd(x , y , z) for(int x = y ; x >= z ; x --)
#define LL long long
using namespace std;
const int N = 6e5 + 5 , inf = 2e5;
int n , sz[N] , hd[N] , cnt , fa[N] , sp , dep[N] , f[N << 1][30] , l , r;
LL tw[30] , ans[N] , lg2[inf + 5];
struct E {
    int to , nt;
} e[N << 1];
void add (int x , int y) { e[++cnt].to = y , e[cnt].nt = hd[x] , hd[x] = cnt; }
int Lca (int x , int y) {
    int flg;
    while (dep[x] != dep[y]) {
        flg = 0;
        if (dep[x] > dep[y]) swap (x , y);
        fd (i , 25 , 0) {
            while (dep[f[y][i]] > dep[x]) {
                y = f[y][i];
                flg = 1;
            }
        }
        if (!flg) break;
    }
    while (dep[x] != dep[y]) {
        if (dep[x] > dep[y]) swap (x , y);
        y = f[y][0];
    }
    while (x != y) {
        flg = 0;
        fd (i , 25 , 0) {
            while (f[x][i] != f[y][i]) {
                x = f[x][i] , y = f[y][i];
                flg = 1;
            }
        }
        if (!flg) break;
    }
    while (x != y)
        x = f[x][0] , y = f[y][0];
    return x;
}
void dfs1 (int x) {
    int y;
    sz[x] = 1;
    for (int i = hd[x] ; i ; i = e[i].nt) {
        y = e[i].to;
        if (fa[x] == y) continue;
        fa[y] = x;
        dep[y] = dep[x] + 1;
        dfs1 (y);
        sz[x] += sz[y];
    }
}
void gt_f () {
    fu (i , 0 , n - 1) 
        fu (j , 1 , 25) 
            f[i][j] = 0;
    dep[0] = 1;
    dfs1 (0);
    fu (i , 0 , n - 1) 
        f[i][0] = fa[i];
    fu (j , 1 , 25) {
        fu (i , 0 , n - 1) {
            f[i][j] = f[f[i][j - 1]][j - 1];
        }
    }
}
LL gs (LL x) { return x * (x - 1) / 2; }
void pre_ans () {
    ans[1] = gs (sz[0] - sz[1]);
    int y;
    for (int i = hd[0] ; i ; i = e[i].nt) {
        y = e[i].to;
        ans[0] += gs (sz[y]);
        int lca = Lca (y , 1);
        if (lca == y) ans[1] -= gs (sz[y] - sz[1]);
        else ans[1] -= gs (sz[y]);
    }
}
bool add (int x) {
    int lca1 = Lca (l , x) , lca2 = Lca (r , x);
    if (r) {
        if (lca1 == l) {
            l = x;
            return 1;
        }
        else if (lca1 == x) return 1;
        if (lca2 == r) {
            r = x;
            return 1;
        }
        else if (lca2 == x) return 1;
    }
    else {
        if (lca1 && (lca1 != l && lca1 != x)) return 0;
        else if (lca1 == l ) {
            l = x;
            return 1;
        }
        else if (lca1 == x) return 1;
        else if (lca1) return 0;
        else {
            r = x;
            return 1;
        }
    }
    return 0;
}
LL gt_ans (int x) {
    int lca1 = Lca (x , l) , lca2 = Lca (x , r);
    LL ans1 , ans2;
    if (r) {
        ans1 = sz[l] , ans2 = sz[r];
        if (lca1 == x || lca2 == x) return 0;
        else if (lca1 == l) ans1 -= sz[x];
        else if (lca2 == r) ans2 -= sz[x];
    }
    else {
        ans1 = sz[l] , ans2 = sz[r] - sp;
        if (lca1 == x || lca2 == x) return 0;
        else if (lca1 == l) ans1 -= sz[x];
        else if (lca1 == 0) ans2 -= sz[x];
    }
    return ans1 * ans2;
}
int main () {
    tw[0] = 1ll;
    fu (i , 1 , 25) tw[i] = 1ll * tw[i - 1] * 2;
    int T , u , v;
    scanf ("%d" , &T);
    while (T --) {
        scanf ("%d" , &n);
        cnt = 0;
        fu (i , 0 , n) ans[i] = hd[i] = fa[i] = 0;
        fu (i , 0 , n) 
            fu (j , 0 , 25) 
                f[i][j] = -1;
        fu (i , 1 , n - 1) {
            scanf ("%d%d" , &u , &v);
            add (u , v) , add (v , u);
        }
        gt_f ();
        pre_ans ();
        for (int i = hd[0] ; i ; i = e[i].nt) {
            if (Lca (e[i].to , 1) == e[i].to) {
                sp = sz[e[i].to];
                break;
            }
        }
        l = r = 0;
        fu (i , 2 , n) {
            if (!add (i - 1)) break;
            if (i == n) {
                ans[i] = 1;
                break;
            }
            ans[i] = gt_ans (i);
        }
        fu (i , 0 , n)
            printf ("%lld " , ans[i]);
        printf ("\n");
    }
    return 0;
}

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