算法通过村第十四关-堆|青铜笔记|堆结构

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前言

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若执于空，空亦为障。 --彼得·马西森《雪豹》

堆结构是一种非常重要的基础数据结构，也是算法的重要内容，很多题目甚至只能通过用堆来进行，所以我们必须明确什么类型的题目可以使用堆，以及如何使用堆来解决。由于堆的结构和维护的过程很复杂，因此一般面试不需要手写堆的实现，但是在Java、python、C++已经提供了一些工具，因此需要知道思路就可以了。

这里主要简介堆的使用，如何进行增删改查，不用管代码怎么写，后面我们会继续介绍怎么使用堆解决问题的。

堆的概念和特征

堆是将一组数据按照完全二叉树的存储顺序（推荐⭐⭐⭐： 算法通过村第六关-树青铜笔记|中序后序_师晓峰的博客-CSDN博客），将数据存储在一个一维数组中的结构。堆有两种结构，一种称为大顶堆，一种称为小顶堆，如图下：

• 小顶堆：任意节点的值均小于它的左右孩子，并且最小值位于堆顶，即根节点处。
• 大顶堆：任意节点的值均大于它的左右孩子，并且最大值位于堆顶，即根节点处。

当然有些地方叫大根堆，小根堆，或者最大堆、最小堆都是一个意思。大小的特征都是类似的，只是比较的时候按照大的来点定还是按照小的来定。我们这里介绍先按照最大堆来进行，后面的题目我们根据条件来定。

小顶堆：

大顶堆：

既然是将一组数据按照树的结构存储在一堆数组中，而且还是完全二叉树，那么父子之间的关系的建立就很重要了。

有个概念需要注意一下，我们在做题的时候经常会看到有地方叫做堆，有些地方叫优先队列，两者是什么关系呢？

优先队列：说到底还是一种队列，他的工作就是poll()/peek()出队列中的最大或者最小的那个元素，所以叫做带有优先级别的队列。能够实现这样的功能的策略不一定是堆。例如：二项堆、平衡树、线段树、C++里面还用二进制分组vector来实现一个优先队列。

堆：是一个很大的概念，它并不一点是完全二叉树。我们之前用完全二叉树是因为这个容易呗数组存储，但是除了这种二叉堆之外，还有二项堆、斐波那契堆。这种堆就不属于二叉树了。

所以说，优先队列和堆不是一个同level的概念，但是Java中PriorityQueue就是采用堆实现的，因此在Java的领域中，我们可以认为堆就是优先队列，优先队列也就是堆，换个场景的话就不太行了。

堆的构成过程

使用数组构建堆时，就是按照层次将所有元素依次放入二叉树中，使其成为二叉树，然后再不断的调整，最终使其符合堆的结构。

这里我们先假设一个节点下标为 i：

1. 当 i == 0 时， 为根节点。
2. 当 i >= 1 时， 父节点为 (i - 1) / 2;

size 就是元素的个数，从 1 开始计数。

下面就看一下怎么建立一个大顶堆：

将元素依次排到完全二叉树节点上，如左图所示：

• int i = (size - 2) / 2 = 4 (思考这里为什么使用 size - 2 而不是size - 1)。 找到数组下标 4
  号，65 大于取其孩子，满足大顶堆的性质，不用交换。如下图：

• 然后 i = i- 1；然后用 2 和其他孩子比较， 2 和 204 交换。交换之后 204 所在的子树满足大顶堆，如下图所示：

• 54 和其他孩子比较，54 和 92 交换，此时92 所在子树满足大顶堆，如下图：

• 继续，23 和其他孩子比较，23 和 204 交换，交换完之后，23 的子树却不满足了需要再调整如下图：
  

• 12 和 204 交换，然出现不平衡的情况，依次类推，知道根节点也满足要求就完毕了。
  
  这样我们就建好了一个大顶堆，从图中可以看到，根元素是整个树中值最大的那个，二第二大和第三大就是其左右子树，具体那个更大是未知数，需要比较一下才知道。

另外，对于同一组数据，如果输入的序列不一样，最终的构造的树是否也会不一样呢？非常有可能，那么这样的树有什么意义呢？我们再往后面看看你，这里你已经理解怎么构建了对吧。

插入操作

从上面可以看到根节点和其左右节点是堆的老大老二老三，其他节点则是没有太明显的规律，那么如果要插入一个新的元素呢，该怎么办？直接说规则了：

将元素插入到保持其完全二叉树的最后一个位置，然后顺着这支一直向上调整，每前进一层就要保证其他子树都满足堆的要求，否则去调整子树，直到全部满足要求。

看一个例子，如下图，要插入 300 ，我们将其插入到 31的右孩子位置，然后不断向上爬， 31 < 300 ,所以两者需要交换，再向上 300 比 65 大，所以两者也要交换。最后 300 比根元素 204 大，两者也要交换，最后得到了新的堆。完整的过程如下：

删除操作

堆本身比较特殊，一般对堆中的数据进行操作都是针对堆顶的元素，即每次都从堆中获取得到最大或者最小值，其他得不关心，所以我们删除得时候，也删除堆顶元素。如果直接删掉堆顶，整个结果被破坏，群龙无首。所以实际策略是先将堆中最后一个元素，（假如为A）和堆顶元素进行替换，然后再删除堆中最后一个元素，之后再从跟开始逐步与之左右比较，谁得更大谁上位。然后A再继续与子树比较，如果有更大得继续交换，直到自己所在得子树也满足大顶堆得要求。

（上面得过程可以理解为：皇帝突然驾崩了，然后先找个顾命大臣维持局面，大臣先看看那个皇子更强大，谁就是老大。然后大臣就逐步隐退，找到属于自己得位置）

最后调整一下位置，满足堆得性质：

说了这么多，你觉得他得价值再哪里呢？价值在于大顶堆得根节点是整个树最大得那个，增加时会根据根得大小来决定要不要加，而删除操作只删除根元素。这个特征可以再很多场景下有巧妙得应用，后面得算法题目大多都是基于此得。

这里可能有很多人有疑问，感觉不管时插入还是删除，堆得操作都不简单，那么为什么还说堆得效率比较高呢？

这是因为堆元素得数量时有限制得，一般不用将所有得元素都放入堆里。后面题目中可以看到这些，在序列中找K大，则堆得大小就是k。如果K个链表合并，那么堆就是K。原理后面再展开详细展开。

说了这么多堆得性质了，我们来看看堆是怎么解决问题得。关于堆得问题，记住这里（我有秘法传于世间：

查找：找大用小，大的进；找小用大，小的进。
排序：升序用小，降序用大。

查找的方法就是：找 k 大， 则用小顶堆，后序的数据只有比根元素更大时才允许进入堆。如果找 k 小，则反过来。这我们后面接着分析。留个疑惑。

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总结

提示：堆结构；堆的特性；堆的构造；堆的插入操作；堆的删除操作：

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