DP动态规划【专辑@AbandonZHANG】
—— “Hala, AbandonZHANG！”~ ------------------------------------------------------------- ◊
线性DP：
经典DP原型系列： °
NOIP 1999 拦截导弹 （
最长下降子序列入门）
思路：比较简单，第一问最长不上升子序列；第二问贪心即可（有人证明第二问等价于求最长上升子序列。。。）。
状态转移方程：最长不上升子序列：s[i] = max(s[i], s[j]+1) (j = 0...i-1, 且a[j] >= a[i])
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using namespace std; int a[1010]; int n; int work1(int n) { int s[1010]; int res = 0; for (int i = 0; i < 1010; i ++) s[i] = 1; for (int i = 0; i < n; i ++) { for (int j = 0; j < i; j ++) if (a[i] <= a[j]) s[i] = max(s[i],s[j] + 1); if (s[i] > res) res = s[i]; } return res; } int work2(int n) { int res = 0; int vis[1010] = {0}; for (int i = 0; i < n; i ++) if (!vis[i]) { res ++; vis[i] = 1; int tmp = a[i]; for (int j = i + 1; j < n; j ++) if (a[j] <= tmp && vis[j] == 0) { vis[j] = 1; tmp = a[j]; } } return res; } int main() { scanf("%d",&n); for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d",&a[i]); printf("%d%d\n",work1(n),work2(n)); return 0; }
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NOIP 2004 合唱队形 （
最长下降子序列）
思路：分别把每个点看成中间最高的人，两边的人数就是求一下从左端到该点的最长上升子序列、从右端到该点的最长下降子序列加起来。然后判断那个点做中间点时需要去除的人数最少就行了。
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using namespace std; int a[105],s[105],w[105]; void works(int n) { for (int i = 0; i < n; i ++) s[i] = w[i] = 1; for (int i = 0; i < n; i ++) for (int j = 0; j < i; j ++) if (a[j] < a[i]) s[i] = max(s[i], s[j] + 1); for (int i = n - 1; i >= 0; i --) for (int j = n - 1; j > i; j --) if (a[j] < a[i]) w[i] = max(w[i], w[j] + 1); } int cnt(int n) { int res = 200; works(n); for (int i = 0; i < n; i ++) if (n - (s[i] + w[i] - 1) < res) res = n - (s[i] + w[i] - 1); return res; } int main() { int n; scanf("%d",&n); for (int i = 0; i < n; i ++) scanf("%d",&a[i]); printf("%d\n",cnt(n)); return 0; }
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NOI 1995 石子合并 ★（
石子合并原形，
区间划分DP）
思路：典型的区间划分DP。f[i,j]表示区间[i..j]的石堆合并成一个的得分。因为题目中说，只能归并相邻的两堆石子。所以，f[i,j]这一系列石子必然由f[i,k]和f[k+1,j]（i<=k<j）这两堆石子归并而来。只要在所有的f[i,k]+f[k+1,j]中取个最小值（就是原来此次没归并前的最小值），加上自己本身所有石子的和（因为归并一次的代价是所有石子的总和），就是我们要求的f[i,j]。 其次是要注意
圆形问题转线形的方法：
将石子序列倍长，答案在s[i][i + n - 1] (i = 0 .. n - 1)中找。
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using namespace std; int n; int a[205],s[205][205],t[205][205]; int num[205][205]; int calnum() { for (int i = 0; i < 2 * n - 1 ; i ++) num[i][i] = a[i]; for (int p = 1; p < n; p ++) for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i ++) { if (i + p < 2 * n - 1) { int j = i + p; num[i][j] = num[i][i] + num[i + 1][j]; } } } int calmin() { for (int i = 0; i < 205; i ++) for (int j = 0; j < 205; j ++) s[i][j] = 1e8; for (int i = 0; i < 2 * n - 1 ; i ++) s[i][i] = 0; for (int k = 1; k < n; k ++) for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i ++) { if (i + k < 2 * n - 1) { int j = i + k; for (int p = i; p < j; p ++) s[i][j] = min(s[i][j], s[i][p] + s[p + 1][j] + num[i][p] + num[p + 1][j]); } } int res = 1e8; for (int i = 0; i < n; i ++) if (s[i][i + n - 1] < res) res = s[i][i + n - 1]; return res; } int calmax() { for (int p = 1; p < n; p ++) for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i ++) { if (i + p < 2 * n - 1) { int j = i + p; for (int k = i; k < j; k ++) t[i][j] = max(t[i][j], t[i][k] + t[k + 1][j] + num[i][k] + num[k + 1][j]); } } int res = 0; for (int i = 0; i < n; i ++) if (t[i][i + n - 1] > res) res = t[i][i + n - 1]; return res; } int main() { scanf("%d",&n); for (int i = 0; i < n; i ++) { scanf("%d",&a[i]); a[i + n] = a[i]; } calnum(); printf("%d\n%d\n",calmin(),calmax()); return 0; }
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NOIP 2006 能量项链 （
石子合并）
思路：之前做过一次，有点儿压力。。。然后去做石子合并。会了石子合并了这题就出来了，1Y。思路一样的。只不过这里一个石子有左右值。好久没1Y了，好高兴^ ^~
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using namespace std; int n; int l[210][210],r[210][210],s[210][210]; int ff() { for (int p = 1; p < n; p ++) for (int i = 0; i < 2 * n - 1; i ++) if (i + p < 2 * n - 1) { int j = i + p; for (int k = i; k < j; k ++) { s[i][j] = max(s[i][j], s[i][k] + s[k+1][j] + l[i][k] * r[i][k] * r[k+1][j]); l[i][j] = l[i][k]; r[i][j] = r[k+1][j]; } } int res = 0; for (int i = 0; i < n; i ++) if (s[i][i + n - 1] > res) res = s[i][i + n - 1]; return res; } int main() { scanf("%d",&n); for (int i = 0; i < n; i ++) { int q; scanf("%d",&q); l[i][i] = q; if (i != 0) r[i-1][i-1] = q; if (i == n - 1) r[i][i] = l[0][0]; } for (int i = 0; i < n; i ++) { l[i+n][i+n] = l[i][i]; r[i+n][i+n] = r[i][i]; } printf("%d\n",ff()); return 0; }
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NOIP 2000 乘积最大 （
石子合并）
思路：这题我是按石子合并的区间DP思路做的，f[i][j][kk]表示区间[i..j]的数被kk个乘号划分成k+1个数的乘积。然后f[i][j][kk] = max{num[i][w] * f[w+1][j][kk-1]}。但是我们可以发现这个状态转移方程中j一直没变对不对？所以我们其实可以降低一维：令f[i][k]表示把前i个数用k个乘号划分成k+1个数的乘积，则f[i][k] = max{num[i][w] * f[w+1][k-1]}。 PS:这题那年普及组和提高组都有，不过普及组k<=6，数据范围int；提高组k<=30，数据范围long long。RQNOJ上是提高组的。
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using namespace std; int n,k; int a[50]; int f[50][50][40]; int num[50][50]; void calnum() { for (int p = 1; p < n; p ++) for (int i = 0; i < n; i ++) if (i + p < n) { int j = i + p; if (j - 1 == i) num[i][j] = a[i] * 10 + a[j]; num[i][j] = num[i][j-1] * 10 + a[j]; } } int ff() { calnum(); for (int p = 1; p < n; p ++) for (int i = 0; i < n; i ++) if (i + p < n) { int j = i + p; for (int w = i; w < j; w ++) for (int kk = 1; kk <= k; k ++) f[i][j][kk] = max(f[i][j][kk], num[i][w] * f[w+1][j][kk-1]); } return f[0][n-1][k]; } int main() { scanf("%d %d",&n,&k); char s[50]; gets(s); for (int i = 0; i < n; i ++) a[i] = s[i] - '0'; printf("%d\n",ff()); return 0; }
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NOIP 2001 统计单词个数 （
石子合并）
思路：变相的乘积最大呐。。。就是区间num计算的方法换一下而已嘛。。。设f[i][j]为从第i个开始一直到尾划分成j+1段的单词数。 但是还是暴露除了几个值得关注的问题：
区间划分DP中一定要注意判断当前区间可不可以划分，即判断[i..j]区间的大小是否大于划分数k。这个问题其实在上一道乘积最大的题目中也暴露出来了，只不过因为那里是乘的关系所以f[][]为0不会影响结果，但加可就得严格限制了。。。比如如果是aaaaaaaaaaaaaaaaaaaa要划分成4段，有一个子串aaaaa。标准答案是13，即分成[0..16][17][18][19]。不加那个if (snum - w - 1 > c - 1)判断算出来是15，他的15是由f[0][k] = num[0][18] + f[19][k - 1]得出的，但我们发现[19]根本不能划分成k段对不？ 题目中还说“
每份中包含的单词可以部分重叠。当选用一个单词之后，其第一个字母不能再用。例如字符串this中可包含this和is，选用this之后就不能包含th
”，这个其实很好限制，我们在计算某个区间内有多少个子串时暴力枚举，当我们对区间[i,j]的串的第一个开头配对某个子串成功后直接跳出不管后面的子串而去配对下一个开头就可以了。。。（说的不是很清楚，还是看代码领悟吧。。。）
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using namespace std; int p,k,o; int snum; char a[205]; char q[7][205]; int num[205][205]; int f[205][50]; void calnum() { for (int i = 0; i < snum; i ++) for (int j = i; j < snum; j ++) { for (int m = i; m <= j; m ++) for (int w = 0; w < o; w ++) { int l; for (l = 0; l < strlen(q[w]); l ++) if (m + l > j || q[w][l] != a[m + l]) break; if (l == strlen(q[w])) { num[i][j] ++; break; } } } // for (int i = 0; i < snum; i ++) // for (int j = i; j < snum; j ++) // printf("i = %d, j = %d, num = %d\n",i,j,num[i][j]); } int ff() { calnum(); for (int i = 0; i < snum; i ++) f[i][0] = num[i][snum - 1]; for (int c = 1; c <= k; c ++) for (int i = snum - 1; i >= 0; i --) for (int w = i; w < snum - 1; w ++) if (snum - w - 1 > c - 1) f[i][c] = max(f[i][c], num[i][w] + f[w+1][c-1]); return f[0][k]; } int main() { char s[25]; scanf("%d%d",&p,&k); k --; while(p --) { scanf("%s",s); for (int i = 0; i < 20; i ++) a[snum ++] = s[i]; } scanf("%d",&o); for (int i = 0; i < o; i ++) scanf("%s",q[i]); printf("%d\n",ff()); return 0; }
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NOIP 2000 方格取数 ★（
方格取数原形，
多线程DP） 一取方格数：f[i][j] = max(f[i-1][j], f[i][j-1])。二取方格数当然也有类似的O(n^4)的思路。 但有一个更好的
思路：
可以发现在走到第n步时，能走到的格子是固定的。进一步发现，这些格子的横纵坐标加起来都是n+1（左上角（1，1））。这样我们就不必同时记录两个坐标了，只要知道其中一个t，另一个就可以通过n+1-t算出来。这个方法在一取方格（只走一条路）时效果并不明显，这里可以看到已经减少了一维，且越是高维优点越明显。 用f[x,i,j]表示走到第x步时，第1条路线走到横坐标为i的地方，第2条路线走到了横坐标为j的地方。这样，我们只要枚举x，i，j，就能递推出来了。
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using namespace std; int n; int f[31][11][11]; int a[11][11]; int main() { scanf("%d",&n); int x,y,c; while(scanf("%d%d%d",&x,&y,&c)) { if (x == 0 && y == 0 && c == 0) break; a[x][y] = c; } for (int k = 1; k <= n + n; k ++) for (int i = 1; i <= min(n,k); i ++) for (int j = 1; j <= min(n,k); j ++) { f[k][i][j] = max(f[k-1][i][j], f[k-1][i-1][j]); f[k][i][j] = max(f[k][i][j], f[k-1][i][j-1]); f[k][i][j] = max(f[k][i][j], f[k-1][i-1][j-1]); if (i == j) f[k][i][j] += a[i][k+1-i]; else f[k][i][j] += a[i][k+1-i] + a[j][k+1-j]; } printf("%d\n",f[n+n][n][n]); return 0; }
vijos上还有三取方格数（
Vijos P1143）。
N取方格数这种问题可以用费用流建模做。 ------------------------------------------------------------------------------- º
NOIP 2008 传纸条 （
方格取数）
思路：方格取数啊~只不过限制每个格子只能走一次，所以当两个坐标一样时直接f[][][] = 0就行了~（当然最后一步需要特殊处理一下）
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using namespace std; int m,n; int f[110][55][55]; int a[55][55]; int main() { scanf("%d%d",&m,&n); for (int i = 1; i <= m; i ++) for (int j = 1; j <= n; j ++) scanf("%d",&a[i][j]); for (int k = 1; k < m + n; k ++) for (int i = 1; i <= min(m,k); i ++) for (int j = 1; j <= min(m,k); j ++) { f[k][i][j] = max(f[k-1][i][j], f[k-1][i-1][j]); f[k][i][j] = max(f[k][i][j], f[k-1][i][j-1]); f[k][i][j] = max(f[k][i][j], f[k-1][i-1][j-1]); if (i == j) if (i == m) f[k][i][j] += a[i][k+1-i]; else f[k][i][j] = 0; else f[k][i][j] += a[i][k+1-i] + a[j][k+1-j]; } printf("%d\n",f[m+n-1][m][m]); return 0; }
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NOIP 2005 过河 （
路径压缩）
思路：DP+路径压缩。可以证明当两石块之间的距离大于它的时候，那么大于它的部分的每一个点都可以通过这两个数的某一种组合跳到，所以当两个石块间的距离大于这个最小公倍数，那么就把它们的距离缩小到这个最小公倍数.路径压缩后，就可以DP求出最小踩石子个数。设f[i]表示到达第i个位置最小踩多少个石子.则f[i]=min(f[i-j]+d[i])（1<=i<=l+t)(s<=j<=t),d[i]表示第i个位置是否有石子.最后的答案就是在l to l+t 之间找最小。
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using namespace std; int a[105],f[20000],d[20000]; int main(){ int l, m, s, t; memset(f,0,sizeof(f)); memset(d,0,sizeof(d)); cin >> l; cin >> s >> t >> m; for (int i = 1; i <= m; i ++){ cin >> a[i]; } int res = 0; if (s == t){ for (int i = 1; i <= m; i ++){ if (a[i] % s == 0){ res ++; } } cout<
90){ a[i+1] = a[i] + (a[i+1] - a[i]) % 90; } } l = a[m+1]; for (int i = 1; i <= m; i ++){ d[a[i]] = 1; } for (int i = 1; i <= l + t; i ++){ f[i] = 0xFFFFFFF; } for (int i = 1; i <= l + t; i ++){ for (int j = s; j <= t; j ++){ if (i >= j){ f[i] = min(f[i], f[i-j] + d[i]); } } } int minn = 0xFFFFFFF; for (int i = l; i <= l + t; i ++){ if (f[i] < minn){ minn = f[i]; } } cout<
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POJ 2479 Maximum sum ★（
POJ 2593
最大连续子段和）
题目大意：给定一个数列，找到两个不相交的子序列，使他们的和最大。
思路：因为求两个不相交的子序列，所以就是找到一个i，使得他左区间最大连续子段和+右区间最大连续子段和最大。考虑求一边的就可以了，即经典的一维最大连续子段和问题。dp[i]表示[0..i]区间的最大连续子段和，b[i]表示以i结尾的最大连续子段和。
状态转移方程：b[i] = max{b[i-1] + a[i] , a[i]}， dp[i] = max{b[j] (j = 0..i) }
时间复杂度：O(N)DP预处理+O(N)查询
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using namespace std; const int N = 50010; int dp1[N],dp2[N],b1[N],b2[N],a[N]; void go_dp(int n){ //left b1[0] = a[0]; dp1[0] = b1[0]; int max = dp1[0]; for (int i = 1; i < n; i ++){ if (b1[i-1] > 0){ b1[i] = b1[i-1] + a[i]; } else{ b1[i] = a[i]; } if (b1[i] > max){ max = b1[i]; } dp1[i] = max; } //right b2[n-1] = a[n-1]; dp2[n-1] = b2[n-1]; max = dp2[n-1]; for (int i = n - 2; i >= 0; i --){ if (b2[i+1] > 0){ b2[i] = b2[i+1] + a[i]; } else{ b2[i] = a[i]; } if (b2[i] > max){ max = b2[i]; } dp2[i] = max; } } int ff(int n){ int max = INT_MIN; for (int i = 0; i < n - 1; i ++){ if (dp1[i] + dp2[i+1] > max){ max = dp1[i] + dp2[i+1]; } } return max; } int main(){ int t,n; scanf("%d",&t); while(t --){ scanf("%d",&n); for (int i = 0; i < n; i ++){ scanf("%d",&a[i]); } go_dp(n); printf("%d\n",ff(n)); } //system("pause"); return 0; }
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POJ 1050 To the Max ★(
HDU 1081
最大子矩阵和)
题目大意：最大子矩阵和。
思路：如果不是方阵而是一维数组，显然是最大连续子段和。如果已经确定这个矩形应该包含哪些行，而还不知道该包含哪些列，那么可以将每一列的各行元素相加，从而将矩阵转换为一维数组的最大连续子段和。因此，只要我们枚举矩阵应该从哪一行到哪一行，就可以将问题用最大连续子段和策略来求解了，O(N
3)。
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using namespace std; int a[120][120]; int b[120],dp[120]; int main(){ int maxn; int n; while(scanf("%d",&n) == 1){ maxn = INT_MIN; for (int i = 0; i < n; i ++){ for (int j = 0; j < n; j ++){ scanf("%d",&a[i][j]); maxn = max(maxn, a[i][j]); } } for (int i = 0; i < n; i ++){ memset(b,0,sizeof(b)); for (int j = i; j < n; j ++){ dp[0] = 0; for (int k = 0; k < n; k ++){ b[k] += a[j][k]; dp[k+1] = (dp[k] > 0 ? dp[k] : 0) + b[k]; maxn = max(maxn, dp[k+1]); } } } printf("%d\n",maxn); } return 0; }
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POJ 3356 AGTC (
字符串编辑距离(Levenshtein distance))
题目大意：给定字符串A和B。求A串转到B串所需的最少编辑操作次数。编辑操作包括：删除、添加一个字符、替换成任意字符。
思路：dp[i][j]，代表字符串1的前i子串和字符串2的前j子串的距离。初始化dp[0][0] = 0,dp[i][0] = i,dp[0][j] = j; dp[i][j] = min { dp[i][j-1] + 1 //添加(在i位置后面添加一个字符) dp[i-1][j] + 1 //删除(删除第i个字符) dp[i-1][j-1] + (A[i] == B[i]?0:1) //替换 }
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