【动态规划】121. 买卖股票的最佳时机、122. 买卖股票的最佳时机 II

提示：努力生活，开心、快乐的一天

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121. 买卖股票的最佳时机

题目链接：121. 买卖股票的最佳时机

解题思路

1. 暴力、贪心都可实现，但此处用动态规划实现
2. 动规五部曲：

• 确定dp数组以及下标的含义：dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金 ；dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金。注意这里说的是“持有”，“持有”不代表就是当天“买入”！也有可能是昨天就买入了，今天保持持有的状态
• 确定递推公式：
  如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来：
  1、 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
  2、 第i天买入股票，所得现金就是买入今天的股票后所得现金即：-prices[i]
  dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], -prices[i]);
  如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
  1、第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
  2、第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
  dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);
• dp数组如何初始化：dp[0][0]表示第0天持有股票，此时的持有股票就一定是买入股票了，因为不可能有前一天推出来，所以dp[0][0] = -prices[0];
• 确定遍历顺序：从递推公式可以看出dp[i]都是由dp[i - 1]推导出来的，那么一定是从前向后遍历。
• 举例推导dp数组：按照递推公式推导一下做推导，如果发现结果不对，就把dp数组打印出来
  

遇到的问题

1. 二维数组，表示是否持有该股票很重要，是否持有的推理来源分几种情况去最大值
2. 遍历从1开始

代码实现

动态规划

var maxProfit = function (prices) {
    //dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金
    //dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
    let len = prices.length
    let dp = new Array(len).fill([0,0])
    dp[0] = [-prices[0], 0]
    for (let i = 1; i < len; i++){
        dp[i] = [
            Math.max(dp[i - 1][0], -prices[i]),
            Math.max(dp[i-1][1],prices[i]+dp[i-1][0])
        ]
    }
    return dp[len-1][1]
};

题目总结

dp[i][0] 表示第i天持有股票所得最多现金；dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
然后是dp[i][0] 如何推导出来，dp[i][1]如何推倒出来

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122. 买卖股票的最佳时机 II

题目链接：122. 买卖股票的最佳时机 II

解题思路

1. 本题和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)的唯一区别是本题股票可以买卖多次了（注意只有一只股票，所以再次购买前要出售掉之前的股票）
2. 这里重申一下dp数组的含义：
   dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
   dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
3. 在动规五部曲中，这个区别主要是体现在递推公式上，其他都和121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)一样一样的。所以我们重点讲一讲递推公式:
   如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来：
   1、 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
   2、 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
   dp[i][0]应该选所得现金最大的，所以dp[i][0] = max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]);
   如果第i天不持有股票即dp[i][1]， 也可以由两个状态推出来
   1、第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
   2、第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
   dp[i][1]取最大的，dp[i][1] = max(dp[i - 1][1], prices[i] + dp[i - 1][0]);

遇到的问题

1. 与只能进行一次买卖的区分开
2. 2. 遍历从1开始

代码实现

动态规划

var maxProfit = function (prices) {
    // dp[i][0] 表示第i天持有股票所得现金。
    // dp[i][1] 表示第i天不持有股票所得最多现金
    let len = prices.length
    let dp = new Array(len).fill([0, 0])
    dp[0] = [-prices[0], 0]
    for (let i = 1; i < len; i++){
        // 如果第i天持有股票即dp[i][0]， 那么可以由两个状态推出来
        // 第i-1天就持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][0]
        // 第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]
        
        // 在来看看如果第i天不持有股票即dp[i][1]的情况， 依然可以由两个状态推出来
        // 第i-1天就不持有股票，那么就保持现状，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 即：dp[i - 1][1]
        // 第i天卖出股票，所得现金就是按照今天股票佳价格卖出后所得现金即：prices[i] + dp[i - 1][0]
        dp[i] = [
            Math.max(dp[i - 1][0], dp[i - 1][1] - prices[i]),
            Math.max(dp[i-1][1],dp[i-1][0]+prices[i])
        ]
    }
    return dp[len-1][1]
};

题目总结

在121. 买卖股票的最佳时机 (opens new window)中，因为股票全程只能买卖一次，所以如果买入股票，那么第i天持有股票即dp[i][0]一定就是 -prices[i]。

而本题，因为一只股票可以买卖多次，所以当第i天买入股票的时候，所持有的现金可能有之前买卖过的利润。

那么第i天持有股票即dp[i][0]，如果是第i天买入股票，所得现金就是昨天不持有股票的所得现金 减去 今天的股票价格 即：dp[i - 1][1] - prices[i]。

今日心得

买卖股票问题在之前学习贪心时就做过了，但这次是用动态规划解题又是一个新的视角，感觉很不错