梯度下降算法（Gradient Descent）

GD

梯度下降法的含义是通过当前点的梯度（偏导数）的反方向寻找到新的迭代点，并从当前点移动到新的迭代点继续寻找新的迭代点，直到找到最优解，梯度下降的目的，就是为了最小化损失函数。

1、给定待优化连续可微分的函数J（θ），学习率或步长，以及一组初始值（真实值）
2、计算待优化函数梯度
3、更新迭代
4、再次计算新的梯度
5、计算向量的模来判断是否需要终止循环

三种梯度下降法

• 批量梯度下降法(Batch Gradient Descent,BGD)：每次迭代时（每次计算梯度）使用所有样本来进行梯度的更新
• 随机梯度下降法(Stochastic Gradient Descent,SGD)：每次迭代的过程中，仅通过随机选择的一个样本计算梯度
• 小批量梯度下降法(Mini-Batch Gradient Descent,MBGD):对BGD和SGD进行了折中，每次迭代时，抽取一部分(batch-size)训练样本，进行梯度的运算
• 轮次：epoch,训练数据集学习的轮数
• 批次：batch,如果训练数据集较大，一轮要学习太多数据，那就把一轮次要学习的 数据分成多个批次，一批一批数据地学习

简单实例f(x) = x^2

import numpy as np

# 目标函数：f(x) = x^2
def target_function(x):
    return x**2

# 目标函数的导数：f'(x) = 2x
def gradient(x):
    return 2 * x

# 梯度下降算法
def gradient_descent(learning_rate, num_iterations, initial_x):
    x = initial_x
    for i in range(num_iterations):
        grad = gradient(x)
        x -= learning_rate * grad
        cost = target_function(x)
        print(f"Iteration {i+1}: x = {x}, f(x) = {cost}")
    return x

# 初始参数值和超参数设置
learning_rate = 0.1
num_iterations = 10
initial_x = 5

# 运行梯度下降算法
final_x = gradient_descent(learning_rate, num_iterations, initial_x)

print(f"最优解：x = {final_x}, f(x) = {target_function(final_x)}")