基于课本题的立体几何大题
基于课本题:2018年文数全国卷C题19(12分)
如图,矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直, 是 上异于 的点.
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)在线段 上是否存在点 ,使得 //平面 ? 说明理由.
参考答案:2018年文数全国卷C题19
基于课本题:2018年理数全国卷C题19(12分)
如图,边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直, 是 上异于 的点.
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)当三棱锥 体积最大时,求面 与面 所成二面角的正弦值.
参考答案:2018年理数全国卷C题19
常见四面体之一
四面体:2007年文数海南卷题18(12 分)
如图, 为空间四点,在 中,,等边三角形 以 为轴转动.
(Ⅰ)当平面 平面 时,求 ;
(Ⅱ)当 转动时,是否总有 ? 证明你的结论.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/99800d289be2438cbf8ba3e3de4bca8c.jpg)
参考答案:2007年文数海南卷题18
四面体:2004年文数全国卷C题21(12 分)
三棱锥 中,侧面 与底面 垂直,
(Ⅰ)求证 ;
(Ⅱ)如果 ,求侧面 与侧面 所成二面角的大小.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/c798566404c0482d91842bf6a4ad8411.jpg)
参考答案:2004年文科数学全国卷C题21
四面体:2017年文数全国卷C题19(12 分)
如图,四面体 中, 是正三角形,
(1)证明: ;
(2)已知 是直角三角形, ,若 为棱 上与 不重合的点,且 ,求四面体 与四面体 的体积比.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/e3e1e5590263430baee484eca463d233.jpg)
参考答案:2017年文科数学全国卷C题19
四面体:2017年理数全国卷C题19 (12 分)
如图,四面体 中, 是正三角形, 是直角三角形,
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)过 的平面交 于点 ,若平面 把四面体 分成体积相等的两部分,求二面角 的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/8d67e0660a8c423093a01b930069c114.jpg)
参考答案:2017年理数全国卷C题19
四面体:2018年文数全国卷B题19(12 分)
如图,在三棱锥 中,,, 为 的中点.
(1)证明∶ 平面 ;
(2)若点 在棱 上,且 ,求点 到平面 的距离.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/12cd70659f4c4c2a92761edd66b81753.jpg)
参考答案:2017年文数全国卷B题18
四面体:2018年理数全国卷B题20(12 分)
如图,在三棱锥 中,,, 为 的中点.
(1)证明∶ 平面 ;
(2)若点 在棱 上,且二面角 为 ,求 与平面 所成角的正弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/d17a8b2d8be94849b9535a2fd4885b19.jpg)
参考答案:2018年理数全国卷B题20
四面体:2011年文数全国卷题18(12 分)
如图,四棱锥 中,底面 为平行四边形,, 底面
(I)证明∶;
(Ⅱ)设 ,求棱锥 的高.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/822a78054f4a4223a5b1423c0357afd6.jpg)
参考答案:2011年文科数学全国卷题18
四面体:2011年理数全国卷题18 (12 分)
如图,四棱锥 中,底面 为平行四边形,, 底面
(I)证明∶;
(Ⅱ)若 ,求二面角 的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/ec8e5704f8b0487b9969e6ad89027980.jpg)
参考答案:2011年理科数学全国卷题18
四面体~四棱锥:2009年理数海南卷题19(12 分)
如图,四棱锥 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍, 为侧棱 上的点.
(I)求证∶;
(Ⅱ)若 平面 ,求二面角 的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 上是否存在一点 ,使得 // 平面 . 若存在,求 的值;若不存在,试说明理由.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/3d19cfb2aaf34eebb6ca9a51999d30e4.jpg)
参考答案:2009年理数海南卷题19
常见四面体之二:有3个侧面为直角三角形的四面体
四面体:2007年理数海南卷题18(12 分)
18.(本小题满分12 分)
如图,在三棱锥 中,侧面 与侧面 均为等边三角形,, 为 的中点.
(Ⅰ)证明∶ 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/f3111cdbaa41416b9936d418224f77f7.jpg)
参考答案:2007年理数海南卷题18
四面体:2009年文数海南卷题18(12 分)
如图,在三棱 锥 中, 是等边三角形,
(Ⅰ)证明∶;
(Ⅱ)若 ,且平面 平面 ,求三棱锥 的体积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/e2f50ae4d37e43f08fc6c3950218b0c4.jpg)
参考答案:2009年文数海南卷题18
四面体:2016年文数全国卷A题18(12 分)
如图,已知正三棱锥 的侧面是直角三角形,. 顶点 在平面 内的正投影为点 在平面 内的正投影为点 ,连接 并延长交 于点
(Ⅰ)证明∶ 是 的中点;
(Ⅱ)在图中作出点E在平面 PAC 内的正投影F(说明作法及理由),并求四面体 的体积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/8c4cae18eb0447ad87bec93cb5fc1747.jpg)
参考答案:2016年文数全国卷A题18
四面体:2015年文数全国卷A题18 (12 分)
如图,四边形 为菱形, 为 与 的交点, 平面 .
(Ⅰ)证明∶平面 平面 ;
(Ⅱ)若 ,三棱锥 的体积为 ,求该三棱锥的侧面积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/0304b239772f455095654e6d45dfac83.jpg)
提示:这个题用几何方法,有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。
参考答案:2015年文科数学全国卷A18
四面体:2019年全国卷A题12(5分)
12.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上,, 是边长为 2 的正三角形, 分别是 的中点,,则球 的体积为
参考答案:2019年全国卷A题12~常用四面体之二
四面体:2020年理数全国卷A题18(12 分)
如图, 为圆锥的顶点, 是圆锥底面的圆心, 为底面直径,. 是底面的内接正三角形, 为 上一点,.
(1)证明∶ 平面 ;
(2)求二面角 的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/719644b42aa24ea890a060cbf06cc757.jpg)
向量法解答:2020年全国卷A题18
几何法解答:2020年全国卷A题18
四面体:2015年理数全国卷A题18(12 分)
如图,四边形 为菱形,, 是平面 同一侧的两点, 平面 ,平面,
(Ⅰ)证明∶平面 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与直线 所成角的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/a98f6f5c57be4384b64aca177e37abc1.jpg)
参考答案:2015年理数全国卷A题18
折纸类问题
折纸:2011年理科数学陕西卷题16 (12分)
如图,在 中,, 是 上的高,沿 把 折起,使
(I)证明∶平面 平面 ;
(Ⅱ)设 为 的中点,求 与 夹角的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/43791c286efe4c68a76c255bda4c041d.jpg)
参考答案:2011年理数陕西卷题16
折纸:2018年文数全国卷A题18(12分)
如图,在平行四边形 中,,.以 为折痕将 折起,使点 到达点 的位
置,且
(1)证明∶平面 平面 ;
(2) 为线段 上一点, 为线段 上一点,且 ,求三棱锥 的体积.
参考答案:2018年文数全国卷A题18
折纸:2018年理数全国卷A题18(12分)
如图,四边形 为正方形, 分别为 的中点,以 为折痕把 折起,使点 到达点 的位置,且 .
(1)证明∶平面 平面;
(2)求 与平面 所成角的正弦值.
提示:分别用几何法和向量法解答,并作比较分析。
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/f6fc3b00614349929773ee0e343f5516.jpg)
参考答案:2018年理数全国卷A题18:用勾股定理求解
参考答案:2018年理数全国卷A题18:用体积公式求解
折纸:2019年文数全国卷C题19
(12分)图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形,其中 将其沿 折起使得 与 重合,连接 ,如图 2.
(1)证明∶图2中的 四点共面,且平面 平面 ;
(2)求图2中的四边形 的面积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/9a18ccc363b342a6a1dd33bbdc82b9be.jpg)
参考答案:2019年文数全国卷C题19
折纸:2019年理数全国卷C题19(12分)
图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形,其中 将其沿 折起使得 与 重合,连接 ,如图2.
(1)证明∶图2中的 四点共面,且平面 平面 ;
(2)求图2 中的二面角 的大小.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/9a18ccc363b342a6a1dd33bbdc82b9be.jpg)
参考答案:2019年理数全国卷C题19
棱柱
三棱柱:2012年文数全国卷题19
(19)(本小题满分 12 分)
如图,三棱柱 中,侧棱垂直底面, 是棱 的中点.
(I)证明∶平面 平面 ;
(Ⅱ)平面 分此棱柱为两部分,求这两部分体积的比.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/75dd55285d864266824a2bfbbd2767b2.jpg)
参考答案:2012年文数题19
三棱柱:2012年理数全国卷题19
(19)(本小题满分12 分)
如图,直三棱柱 中, 是棱 的中点.
(Ⅰ)证明∶ ;
(Ⅱ)求二面角 的大小.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/8034e722b2604547817225a9dcc13cff.jpg)
提示:二面角的余弦值可以用两个三角形的面积比求出。可参考以下考题:2004年文数全国卷三题21.
参考答案:2012年理数题19
三棱柱:2020年全国卷B题20
20.(12 分)
如图,已知三棱柱 的底面是正三角形,侧面 是矩形, 分别为 的中点, 为 上一点,过 和 的平面交 于 ,交 于 .
(1)证明∶ , 且平面 平面 ;
(2)设 为 的中心. 若 // 平面 ,且 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/11555c1213644a0f995ee39048057acb.jpg)
参考答案:2020年全国卷B题20
三棱柱~菱形:2013年理数全国卷A题18
(18)(本小题满分12分)
如图,三棱柱 中,
(I)证明∶ ;
(Ⅱ)若平面 平面 , ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/d3994cc9871b4f349fa6804f652861c5.jpg)
提示:第一问与2007年海南卷基于同一题根。
第二问,你应该分别用两种方法解答:几何方法、向量方法。解答完成后,比较一下两种方法的优劣。
这个题对于锻炼空间想象能力大有好处,值得多花一些时间。
参考答案:2013年理数卷A题18:几何法求线面角
三棱柱~菱形:2013年文数全国卷A题19
(19)(本小题满分12 分)
如图,三棱柱 中,
(Ⅰ)证明∶ ;
(Ⅱ)若 ,求三棱柱 的体积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/3e704467278446c695c126d590e0a578.jpg)
提示: 本题的第一问,与2007年文数海南卷,基于同一题根。
参考答案:2013年文数卷A题19
三棱柱~菱形:2014年理数全国卷A题19
(19)(本小题满分12 分)
如图,三棱柱 中,侧面 为菱形,.
(Ⅰ)证明∶ ;
(Ⅱ)若 ,求二面角 的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/9c8714ffc4434586bf73b655ffc522c1.jpg)
提示1:这个题的基本模型是棱柱。但从棱柱中可以拆出一个我们熟悉的基本模型。注意:四面体 与2007年海南卷中的模型一致。
提示2:二面角的余弦值,可以用向量方法,也可以用几何方法求出。在完成之后,自己对比一下。
这个题对于锻炼空间想象能力大有好处,值得多花一些时间。
参考答案:2014年理数卷A题19
三棱柱~菱形:2014年文数全国卷A题19
(19)(本小题满分12 分)
如图,三棱柱 中,侧面 为菱形, 的中点为 ,且 平面
(I)证明∶ ;
(Ⅱ)若 ,求三棱柱 的高.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/6f312275007d40148260cb28f46f5078.jpg)
参考答案:2014年文数全国卷A题19
四棱柱:2019年文数全国卷B题17
7.(12分)
如图,长方体 的底面 是正方形,点 在棱 上,
(1)证明∶ 平面 ;
(2)若 ,求四棱锥 的体积.
参考答案:2019年文数全国卷B题17
四棱柱:2019年理数全国卷A题18
18.(12 分)
如图,直四棱柱 的底面是菱形, , 分别是 的中点.
(1)证明∶ 平面 ;
(2)求二面角 的正弦值.
参考答案:2019年理数全国卷A题18
四棱柱:2020年全国卷C题19
19.(12 分)
如图,在长方体 中,点 分别在棱 上,且
(1)证明∶点 在平面 内;
(2)若 ,求二面角 的正弦值.
参考答案:2020年全国卷C题19
四棱柱:2019年文数全国卷A题19
19.(12分)
如图,直四棱柱 的底面是菱形, , 分别是 的中点.
(1)证明∶ 平面 ;
(2)求点 到平面 的距离.
参考答案:2019年文数全国卷A题19
四棱锥
四面体与四棱锥:2009年理数海南卷题19(12 分)
如图,四棱锥 的底面是正方形,每条侧棱的长都是底面边长的 倍, 为侧棱 上的点.
(I)求证∶;
(Ⅱ)若 平面 ,求二面角 的大小;
(Ⅲ)在(Ⅱ)的条件下,侧棱 上是否存在一点 ,使得 // 平面 . 若存在,求 的值;若不存在,试说明理由.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/19f2451b96f14fa58c4912e3cc321d1f.jpg)
提示:
(1)分析以下三角形的形状特征:
(2)可以参考以下考题:2007年文数海南卷、2017年全国卷C(文数+理数)
参考答案:2009年理数海南卷题19
2014年文数全国卷B18
如图,四棱锥 中,底面 为矩形,平面 ,为 的中点.
(Ⅰ)证明∶ // 平面 ;
(Ⅱ)设 ,三棱锥 的体积 ,求 到平面 的距离.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/3e6034920ed04188a8220443fa933114.jpg)
参考答案:2014年文数全国卷B18
2014年理数全国卷B题18
如图,四棱锥 中,底面 为矩形,平面 ,为 的中点.
(Ⅰ)证明∶ // 平面 ;
(Ⅱ)设二面角 为 ,,求三棱锥 的体积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/38cce6c3463c415db8c9df798d61116b.jpg)
参考答案:2014年理数全国卷B题18
四棱锥:2010年理数全国卷题18(12分)
如图,已知四棱锥 的底面为等腰梯形,,垂足为 , 是四棱锥的高, 为 中点.
(1)证明∶;
(2)若 ,求直线 与平面 所成角的正弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/1b12572a7d144c1697a22526ea6fd0d5.jpg)
参考答案:2010年理数全国卷题18
四棱锥:2010年文数全国卷题18(12分)
如图,已知四棱锥 的底面为等腰梯形,,垂足为 , 是四棱锥的高.
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)若 ,求四棱锥 的体积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/07d3b2ff75db477e93e7b7be17e5389f.jpg)
参考答案:2010年文数全国卷题18
四棱锥:2011年理科数学北京卷题16(14分)
如图,在四棱锥 中, 平 面 ,底面 是菱形,
(Ⅰ)求证∶平面 ;
(Ⅱ)若 ,求 与 所成角的余弦值;
(Ⅲ)当平面 与平面 垂直时,求 的长.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/3c72c288da2e43e3aaf29a15199c47d9.jpg)
四棱锥:2012年理科数学大纲卷题18(12 分)
如图,四棱锥 中,底面 为菱形, 底面 ,, 是 上的一点,
(Ⅰ)证明∶ 平面 ;
(Ⅱ)设二面角 为 ,求 与平面 所成角的大小.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/08da082b96194b369a4f7d836c9c6f82.jpg)
参考答案:2012年理科数学大纲卷题18
四棱锥:2016年理数全国卷C题19(12分)
如图,四棱锥 中, 底面 , , , 为线段 上一点,, 为 的中点.
(I)证明 //平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/29a74f65984d4145bd013bcaffb43c28.jpg)
参考答案:2016年理数全国卷C题19
四棱锥:2016年文数全国卷C题19(12分)
如图,四棱锥 中, 底面 , , , 为线段 上一点,, 为 的中点.
(I)证明 平面 ;
(Ⅱ)求四面体 的体积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/b0b216c5805a4876befb016c6bab0446.jpg)
参考答案:2016年文数全国卷C题19
四棱锥:2017年文数全国卷A题18 (12 分)
如图,在四棱锥 中,,且
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)若 ,且四棱锥 的体积为 ,求该四棱锥的侧面积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/351fa0989d9e49228e7c59c883ff2593.jpg)
参考答案:2017年全国卷A题18
四棱锥:2017年理数全国卷A题18(12 分)
如图,在四棱锥 中,,且
(1)证明∶平面 平面 ;
(2)若 ,求二面角 的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/ef584b5738304dc6bb0581712fadd86d.jpg)
提示:此题用几何方法解答效率较高。注意几个三角形的形状特征。可以参考一下这个题:2007年文数海南卷。
参考答案:2017年全国卷A题18
四棱锥:2017年文数全国卷B题18(12分)
如图,四棱锥 中,侧面 为等边三角形且垂直于底面 ,
(1)证明∶直线 // 平面 ;
(2)若 的面积为 ,求四棱锥 的体积.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/269517402d064c15a4d64dd3e2510e35.jpg)
参考答案:2017年文数全国卷B题18
四棱锥:2017年理数全国卷B题19(12分)
如图,四棱锥 中,侧面 为等边三角形且垂直于底面 ,, 是 的中点.
(1)证明∶直线 //平面 ;
(2)点 在棱 上,且直线 与底面 所成角为 ,求二面角 的余弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/5a5328ebdc9842faaf8daa2212db80cd.jpg)
参考答案:2017年理数全国卷B题19
四棱锥:2016年理科数学北京卷题17
(17)(本小题14 分)
如图,在四棱锥 中,平面 平面 , , , .
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/2041ceac260244f3b544cbc030e46787.jpg)
(Ⅰ)求证∶ 平面 ;
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值;
(Ⅲ)在棱 上是否存在点 ,使得 // 平面 ? 若存在,求 的值;若不存在,说明理由.
参考答案:2016年理数北京卷题17
长方体类问题
长方体:2008年文数海南卷题18( 12 分)
如下的三个图中,上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图,它的正视图和侧视图在下面画出(单位∶cm). (I)在正视图下面,按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
(Ⅱ)按照给出的尺寸,求该多面体的体积;
(Ⅲ)在所给直观图中连结 ,证明∶//面
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/121407abb95c4b4bba2ae33c645010d8.jpg)
长方体:2008年理数海南卷题18( 12 分)
如图,已知点 在正方体 的对角线 上,
(Ⅰ)求 与 所成角的大小;
(Ⅱ)求 与平面 所成角的大小.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/c01215354d8e4e399c27a744f2f17114.jpg)
长方体:2015年文数全国卷B题19( 12 分)
如图,长方体 中,,点 分别在 上, 过点 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(Ⅱ)求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/0385d0ded0e44d5a915eed6f1da27fb9.jpg)
长方体:2015年理数全国卷B题19( 12 分)
如图,长方体 中,,点 分别在 上, 过点 的平面 与此长方体的面相交,交线围成一个正方形.
(Ⅰ)在图中画出这个正方形(不必说明画法和理由);
(Ⅱ)求直线 与平面 所成角的正弦值.
![](http://img.e-com-net.com/image/info10/61584320d5284a478e2842614366b972.jpg)
适合用向量法解答的立体几何问题
四棱锥:2016年理数全国卷A题18(12分)
如图,在以 为顶点的五面体中,面 为正方形,,,且二面角 与二面角 都是
(I)证明∶平面 平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的余弦值.
参考答案:2016年理数全国卷A题18
三棱柱:2013年文数全国卷B题18(12分)
如图,直三棱柱 中, 分别是 的中点.
(I)证明∶//平面 ;
(Ⅱ)设 ,求三棱锥 的体积.
参考答案:2013年文数全国卷B题18
三棱柱:2013年理数全国卷B题18(12分)
如图,直三棱柱 中, 分别是 的中点,
(I)证明∶//平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的正弦值.
参考答案:2013年理数全国卷B题18
折纸:2016年文数全国卷B题19(12分)
如图,菱形 的对角线 与 交于点 ,点 分别在 上, 交 于点 . 将 沿 折到 的位置.
(I)证明∶;
(Ⅱ)若 ,求五棱锥 的体积.
参考答案:2016年文数全国卷B题19
折纸:2016年理数全国卷B题19(12分)
如图,菱形 的对角线 与 交于点 ,,点 分别在 上,, 交 于点 . 将 沿 折到 的位置,
(I)证明∶平面 ;
(Ⅱ)求二面角 的正弦值.
参考答案:2016年理数全国卷B题19
2012年理数北京卷题16(14分)
如图1,在 中,, 分别是 上的点,且 , 将 沿 折起到 的位置,使 ,如图2.
(Ⅰ)求证∶平面 ;
(Ⅱ)若 是 的中点,求 与平面 所成角的大小;
(Ⅲ)线段 上是否存在点 ,使平面 与平面 垂直?说明理由.
参考答案:2012年理数北京卷题16