基于课本题的立体几何大题
基于课本题：2018年文数全国卷C题19（12分）
如图，矩形 所在平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点.
（1）证明∶平面 平面 ;
（2）在线段 上是否存在点 ，使得 //平面 ? 说明理由.
参考答案：2018年文数全国卷C题19
基于课本题：2018年理数全国卷C题19（12分）
如图，边长为 2 的正方形 所在的平面与半圆弧 所在平面垂直， 是 上异于 的点.
（1）证明∶平面 平面 ;
（2）当三棱锥 体积最大时，求面 与面 所成二面角的正弦值.
参考答案：2018年理数全国卷C题19
常见四面体之一
四面体：2007年文数海南卷题18（12 分）
如图， 为空间四点，在 中，，等边三角形 以 为轴转动.
（Ⅰ）当平面 平面 时，求 ;
（Ⅱ）当 转动时，是否总有 ? 证明你的结论.
参考答案：2007年文数海南卷题18
四面体：2004年文数全国卷C题21（12 分）
三棱锥 中，侧面 与底面 垂直，
（Ⅰ）求证 ;
（Ⅱ）如果 ，求侧面 与侧面 所成二面角的大小.
参考答案：2004年文科数学全国卷C题21
四面体：2017年文数全国卷C题19（12 分）
如图，四面体 中， 是正三角形，
（1）证明： ；
（2）已知 是直角三角形， ，若 为棱 上与 不重合的点，且 ，求四面体 与四面体 的体积比.
参考答案：2017年文科数学全国卷C题19
四面体：2017年理数全国卷C题19 （12 分）
如图，四面体 中， 是正三角形， 是直角三角形，
（1）证明∶平面 平面 ;
（2）过 的平面交 于点 ，若平面 把四面体 分成体积相等的两部分，求二面角 的余弦值.
参考答案：2017年理数全国卷C题19
四面体：2018年文数全国卷B题19（12 分）
如图，在三棱锥 中，，， 为 的中点.
（1）证明∶ 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且 ，求点 到平面 的距离.
参考答案：2017年文数全国卷B题18
四面体：2018年理数全国卷B题20（12 分）
如图，在三棱锥 中，，， 为 的中点.
（1）证明∶ 平面 ;
（2）若点 在棱 上，且二面角 为 ，求 与平面 所成角的正弦值.
参考答案：2018年理数全国卷B题20
四面体：2011年文数全国卷题18（12 分）
如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，， 底面
（I）证明∶;
（Ⅱ）设 ，求棱锥 的高.
参考答案：2011年文科数学全国卷题18
四面体：2011年理数全国卷题18 （12 分）
如图，四棱锥 中，底面 为平行四边形，， 底面
（I）证明∶;
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.
参考答案：2011年理科数学全国卷题18
四面体~四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）
如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.
（I）求证∶;
（Ⅱ）若 平面 ，求二面角 的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 // 平面 . 若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.
参考答案：2009年理数海南卷题19
常见四面体之二：有3个侧面为直角三角形的四面体
四面体：2007年理数海南卷题18（12 分）
18.（本小题满分12 分）
如图，在三棱锥 中，侧面 与侧面 均为等边三角形，， 为 的中点.
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
参考答案：2007年理数海南卷题18
四面体：2009年文数海南卷题18（12 分）
如图，在三棱 锥 中， 是等边三角形，
（Ⅰ）证明∶;
（Ⅱ）若 ，且平面 平面 ，求三棱锥 的体积.
参考答案：2009年文数海南卷题18
四面体：2016年文数全国卷A题18（12 分）
如图，已知正三棱锥 的侧面是直角三角形，. 顶点 在平面 内的正投影为点 在平面 内的正投影为点 ，连接 并延长交 于点
（Ⅰ）证明∶ 是 的中点;
（Ⅱ）在图中作出点E在平面 PAC 内的正投影F（说明作法及理由），并求四面体 的体积.
参考答案：2016年文数全国卷A题18
四面体：2015年文数全国卷A题18 （12 分）
如图，四边形 为菱形， 为 与 的交点， 平面 .
（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;
（Ⅱ）若 ，三棱锥 的体积为 ，求该三棱锥的侧面积.
提示：这个题用几何方法，有两种思路。注意其中的四面体与2016年文数全国卷A的关系。
参考答案：2015年文科数学全国卷A18
四面体：2019年全国卷A题12（5分）
12.已知三棱锥 的四个顶点在球 的球面上，， 是边长为 2 的正三角形， 分别是 的中点，，则球 的体积为
参考答案：2019年全国卷A题12~常用四面体之二
四面体：2020年理数全国卷A题18（12 分）
如图， 为圆锥的顶点， 是圆锥底面的圆心， 为底面直径，. 是底面的内接正三角形， 为 上一点，.
（1）证明∶ 平面 ;
（2）求二面角 的余弦值.
向量法解答：2020年全国卷A题18
几何法解答：2020年全国卷A题18
四面体：2015年理数全国卷A题18（12 分）
如图，四边形 为菱形，， 是平面 同一侧的两点， 平面 ，平面,
（Ⅰ）证明∶平面 平面 ;
（Ⅱ）求直线 与直线 所成角的余弦值.
参考答案：2015年理数全国卷A题18
折纸类问题
折纸：2011年理科数学陕西卷题16 （12分）
如图，在 中，， 是 上的高，沿 把 折起，使
（I）证明∶平面 平面 ;
（Ⅱ）设 为 的中点，求 与 夹角的余弦值.
参考答案：2011年理数陕西卷题16
折纸：2018年文数全国卷A题18（12分）
如图，在平行四边形 中，，.以 为折痕将 折起，使点 到达点 的位
置，且
（1）证明∶平面 平面 ;
（2） 为线段 上一点， 为线段 上一点，且 ，求三棱锥 的体积.
参考答案：2018年文数全国卷A题18
折纸：2018年理数全国卷A题18（12分）
如图，四边形 为正方形， 分别为 的中点，以 为折痕把 折起，使点 到达点 的位置，且 .
（1）证明∶平面 平面;
（2）求 与平面 所成角的正弦值.
提示：分别用几何法和向量法解答，并作比较分析。
参考答案：2018年理数全国卷A题18：用勾股定理求解
参考答案：2018年理数全国卷A题18：用体积公式求解
折纸：2019年文数全国卷C题19
（12分）图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中 将其沿 折起使得 与 重合，连接 ，如图 2.
（1）证明∶图2中的 四点共面，且平面 平面 ;
（2）求图2中的四边形 的面积.
参考答案：2019年文数全国卷C题19
折纸：2019年理数全国卷C题19（12分）
图1是由矩形 和菱形 组成的一个平面图形，其中 将其沿 折起使得 与 重合，连接 ，如图2.
（1）证明∶图2中的 四点共面，且平面 平面 ;
（2）求图2 中的二面角 的大小.
参考答案：2019年理数全国卷C题19
棱柱
三棱柱：2012年文数全国卷题19
（19）（本小题满分 12 分）
如图，三棱柱 中，侧棱垂直底面， 是棱 的中点.
（I）证明∶平面 平面 ;
（Ⅱ）平面 分此棱柱为两部分，求这两部分体积的比.
参考答案：2012年文数题19
三棱柱：2012年理数全国卷题19
（19）（本小题满分12 分）
如图，直三棱柱 中， 是棱 的中点.
（Ⅰ）证明∶ ;
（Ⅱ）求二面角 的大小.
提示：二面角的余弦值可以用两个三角形的面积比求出。可参考以下考题：2004年文数全国卷三题21.
参考答案：2012年理数题19
三棱柱：2020年全国卷B题20
20.（12 分）
如图，已知三棱柱 的底面是正三角形，侧面 是矩形， 分别为 的中点， 为 上一点，过 和 的平面交 于 ，交 于 .
（1）证明∶ , 且平面 平面 ;
（2）设 为 的中心. 若 // 平面 ,且 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
参考答案：2020年全国卷B题20
三棱柱~菱形：2013年理数全国卷A题18
（18）（本小题满分12分）
如图，三棱柱 中，
（I）证明∶ ;
（Ⅱ）若平面 平面 , ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
提示：第一问与2007年海南卷基于同一题根。
第二问，你应该分别用两种方法解答：几何方法、向量方法。解答完成后，比较一下两种方法的优劣。
这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。
参考答案：2013年理数卷A题18：几何法求线面角
三棱柱~菱形：2013年文数全国卷A题19
（19）（本小题满分12 分）
如图，三棱柱 中，
（Ⅰ）证明∶ ;
（Ⅱ）若 ，求三棱柱 的体积.
提示： 本题的第一问，与2007年文数海南卷，基于同一题根。
参考答案：2013年文数卷A题19
三棱柱~菱形：2014年理数全国卷A题19
（19）（本小题满分12 分）
如图，三棱柱 中，侧面 为菱形，.
（Ⅰ）证明∶ ；
（Ⅱ）若 ，求二面角 的余弦值.
提示1：这个题的基本模型是棱柱。但从棱柱中可以拆出一个我们熟悉的基本模型。注意：四面体 与2007年海南卷中的模型一致。
提示2：二面角的余弦值，可以用向量方法，也可以用几何方法求出。在完成之后，自己对比一下。
这个题对于锻炼空间想象能力大有好处，值得多花一些时间。
参考答案：2014年理数卷A题19
三棱柱~菱形：2014年文数全国卷A题19
（19）（本小题满分12 分）
如图，三棱柱 中，侧面 为菱形， 的中点为 ，且 平面
（I）证明∶ ;
（Ⅱ）若 ，求三棱柱 的高.
参考答案：2014年文数全国卷A题19
四棱柱：2019年文数全国卷B题17
7.（12分）
如图，长方体 的底面 是正方形，点 在棱 上，
（1）证明∶ 平面 ;
（2）若 ，求四棱锥 的体积.
参考答案：2019年文数全国卷B题17
四棱柱：2019年理数全国卷A题18
18.（12 分）
如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， 分别是 的中点.
（1）证明∶ 平面 ;
（2）求二面角 的正弦值.
参考答案：2019年理数全国卷A题18
四棱柱：2020年全国卷C题19
19.（12 分）
如图，在长方体 中，点 分别在棱 上，且
（1）证明∶点 在平面 内;
（2）若 ，求二面角 的正弦值.
参考答案：2020年全国卷C题19
四棱柱：2019年文数全国卷A题19
19.（12分）
如图，直四棱柱 的底面是菱形， ， 分别是 的中点.
（1）证明∶ 平面 ;
（2）求点 到平面 的距离.
参考答案：2019年文数全国卷A题19
四棱锥
四面体与四棱锥：2009年理数海南卷题19（12 分）
如图，四棱锥 的底面是正方形，每条侧棱的长都是底面边长的 倍， 为侧棱 上的点.
（I）求证∶;
（Ⅱ）若 平面 ，求二面角 的大小;
（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，侧棱 上是否存在一点 ，使得 // 平面 . 若存在，求 的值；若不存在，试说明理由.
提示：
（1）分析以下三角形的形状特征：
（2）可以参考以下考题：2007年文数海南卷、2017年全国卷C（文数+理数）
参考答案：2009年理数海南卷题19
2014年文数全国卷B18
如图，四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，为 的中点.
（Ⅰ）证明∶ // 平面 ;
（Ⅱ）设 ，三棱锥 的体积 ，求 到平面 的距离.
参考答案：2014年文数全国卷B18
2014年理数全国卷B题18
如图，四棱锥 中，底面 为矩形，平面 ，为 的中点.
（Ⅰ）证明∶ // 平面 ;
（Ⅱ）设二面角 为 ，，求三棱锥 的体积.
参考答案：2014年理数全国卷B题18
四棱锥：2010年理数全国卷题18（12分）
如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高， 为 中点.
（1）证明∶;
（2）若 ，求直线 与平面 所成角的正弦值.
参考答案：2010年理数全国卷题18
四棱锥：2010年文数全国卷题18（12分）
如图，已知四棱锥 的底面为等腰梯形，，垂足为 ， 是四棱锥的高.
（1）证明∶平面 平面 ;
（2）若 ，求四棱锥 的体积.
参考答案：2010年文数全国卷题18
四棱锥：2011年理科数学北京卷题16（14分）
如图，在四棱锥 中， 平 面 ，底面 是菱形，
（Ⅰ）求证∶平面 ;
（Ⅱ）若 ，求 与 所成角的余弦值;
（Ⅲ）当平面 与平面 垂直时，求 的长.
四棱锥：2012年理科数学大纲卷题18（12 分）
如图，四棱锥 中，底面 为菱形， 底面 ，， 是 上的一点，
（Ⅰ）证明∶ 平面 ;
（Ⅱ）设二面角 为 ，求 与平面 所成角的大小.
参考答案：2012年理科数学大纲卷题18
四棱锥：2016年理数全国卷C题19（12分）
如图，四棱锥 中， 底面 , , ， 为线段 上一点，， 为 的中点.
（I）证明 //平面 ;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
参考答案：2016年理数全国卷C题19
四棱锥：2016年文数全国卷C题19（12分）
如图，四棱锥 中， 底面 , , ， 为线段 上一点，， 为 的中点.
（I）证明 平面 ;
（Ⅱ）求四面体 的体积.
参考答案：2016年文数全国卷C题19
四棱锥：2017年文数全国卷A题18 （12 分）
如图，在四棱锥 中，，且
（1）证明∶平面 平面 ;
（2）若 ，且四棱锥 的体积为 ，求该四棱锥的侧面积.
参考答案：2017年全国卷A题18
四棱锥：2017年理数全国卷A题18（12 分）
如图，在四棱锥 中，，且
（1）证明∶平面 平面 ;
（2）若 ，求二面角 的余弦值.
提示：此题用几何方法解答效率较高。注意几个三角形的形状特征。可以参考一下这个题：2007年文数海南卷。
参考答案：2017年全国卷A题18
四棱锥：2017年文数全国卷B题18（12分）
如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，
（1）证明∶直线 // 平面 ;
（2）若 的面积为 ，求四棱锥 的体积.
参考答案：2017年文数全国卷B题18
四棱锥：2017年理数全国卷B题19（12分）
如图，四棱锥 中，侧面 为等边三角形且垂直于底面 ，， 是 的中点.
（1）证明∶直线 //平面 ;
（2）点 在棱 上，且直线 与底面 所成角为 ，求二面角 的余弦值.
参考答案：2017年理数全国卷B题19
四棱锥：2016年理科数学北京卷题17
（17）（本小题14 分）
如图，在四棱锥 中，平面 平面 ， , , .
（Ⅰ）求证∶ 平面 ;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值;
（Ⅲ）在棱 上是否存在点 ，使得 // 平面 ？ 若存在，求 的值；若不存在，说明理由.
参考答案：2016年理数北京卷题17
长方体类问题
长方体：2008年文数海南卷题18（ 12 分）
如下的三个图中，上面的是一个长方体截去一个角所得多面体的直观图，它的正视图和侧视图在下面画出（单位∶cm）. （I）在正视图下面，按照画三视图的要求画出该多面体的俯视图;
（Ⅱ）按照给出的尺寸，求该多面体的体积;
（Ⅲ）在所给直观图中连结 ，证明∶//面
长方体：2008年理数海南卷题18（ 12 分）
如图，已知点 在正方体 的对角线 上，
（Ⅰ）求 与 所成角的大小;
（Ⅱ）求 与平面 所成角的大小.
长方体：2015年文数全国卷B题19（ 12 分）
如图，长方体 中，，点 分别在 上， 过点 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）;
（Ⅱ）求平面 把该长方体分成的两部分体积的比值.
长方体：2015年理数全国卷B题19（ 12 分）
如图，长方体 中，，点 分别在 上， 过点 的平面 与此长方体的面相交，交线围成一个正方形.
（Ⅰ）在图中画出这个正方形（不必说明画法和理由）;
（Ⅱ）求直线 与平面 所成角的正弦值.
适合用向量法解答的立体几何问题
四棱锥：2016年理数全国卷A题18（12分）
如图，在以 为顶点的五面体中，面 为正方形，，，且二面角 与二面角 都是
（I）证明∶平面 平面 ;
（Ⅱ）求二面角 的余弦值.
参考答案：2016年理数全国卷A题18
三棱柱：2013年文数全国卷B题18（12分）
如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点.
（I）证明∶//平面 ;
（Ⅱ）设 ，求三棱锥 的体积.
参考答案：2013年文数全国卷B题18
三棱柱：2013年理数全国卷B题18（12分）
如图，直三棱柱 中， 分别是 的中点，
（I）证明∶//平面 ;
（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
参考答案：2013年理数全国卷B题18
折纸：2016年文数全国卷B题19（12分）
如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，点 分别在 上， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置.
（I）证明∶;
（Ⅱ）若 ，求五棱锥 的体积.
参考答案：2016年文数全国卷B题19
折纸：2016年理数全国卷B题19（12分）
如图，菱形 的对角线 与 交于点 ，，点 分别在 上，， 交 于点 . 将 沿 折到 的位置，
（I）证明∶平面 ;
（Ⅱ）求二面角 的正弦值.
参考答案：2016年理数全国卷B题19
2012年理数北京卷题16（14分）
如图1，在 中，， 分别是 上的点，且 ， 将 沿 折起到 的位置，使 ，如图2.
（Ⅰ）求证∶平面 ;
（Ⅱ）若 是 的中点，求 与平面 所成角的大小;
（Ⅲ）线段 上是否存在点 ，使平面 与平面 垂直？说明理由.
参考答案：2012年理数北京卷题16