2022-01-14-01
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 周期数列 P049 例4）
设是一个给定的大于1的正整数,数列定义如下,,,,而
证明:数列中存在连续的项,它们都是的倍数.
证明
考察数列,这里表示除以所得的余数,将它记为转为证明:数列中有连续个零.
利用定理2,由(1)可知,存在及,使得对任意,都有.特别地有
两式相减,结合(1)及的定义可知,依此倒推可知,对任意,都有.
为得到我们的结论及计算上的方便,我们将数列的下标依(1)确定的递推关系向负整数延拓,结合上面的讨论,可知对任意,都有.
现在由可知(这里用到初始条件:对任意,都有),进而,有.结合,可知
而,故,这表明:数列中存在下标为正整数的连续项都等于零.
所以,命题成立.
2022-01-14-02
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 周期数列 P050 例5）
设为给定的正整数,对任意正整数,用表示在十进制表示下各数码的次方之和.例如.考虑数列:为正整数,.
(1)证明:对任意正整数,数列都是一个周期数列;
(2)证明:当变化时,(1)中数列的最小正周期构成的集合为有限集.
证明
注意到,对正整数,存在,,使得,此时为十进制中的位数,故
这表明数列中的项满足:若,则.
另一方面,若正整数,则
即可得:如果,那么亦小于.
上述讨论表明:当下标充分大时,必有.于是,数列从某一项开始,每一项都为集合中的数,即存在,使得对任意,都有.结合抽屉原理可知,存在、,,使得.利用的定义知,对,都有,这里,并可使得.
所以,对任意,数列都为周期数列,其最小正周期.
从而,(1)与(2)都成立.
2022-01-14-03
（来源: 数学奥林匹克小丛书 第二版 高中卷 数列与数学归纳法 冯志刚 周期数列 P051 例6）
任意选定一个正整数,再任取,如此下去,当确定后,再选取得到无穷数列.证明:该数列中总有一项,其末两位数字相同.
证明
在模100的意义下讨论.我们用表示除以100所得的余数,这里将都理解为两位数,即是中数.
依数列的定义可知,对任意,都有或.
注意到,故当跑遍模100的完系时,也跑遍模100的完系,对,我们将除以100所得的余数排成如图所示的圆圈.那么,由的结构可知,与是圆圈上相邻的数或者中间隔一个数.因此,圆圈上任意相邻的两个数中必有一个是中的项.而圆圈上00与77相邻,故存在,使得或77,也就是的末两位数字是00或77.
所以,命题成立.
说明尽管数列的每一项都有两种选择,在模100的意义下也不是周期变化的,但跳跃性有限,组合方法的引入使问题迎刃而解.