快速幂：
所谓的快速幂，其目的是为了快速求幂，将时间复杂度从朴素算法的降到。
假如现在要求 ，按照朴素算法，就是将a连乘b次，时间复杂度为，即级别。
代码如下：【a^b的朴素算法】
// O(n)
#include
// a^b的朴素算法
int pow(int a,int b)
{
int ans=1;
while(b)
{
ans*=a;
b--;
}
return ans;
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("%d\n",pow(a,b));
}
接下来就是快速幂的表演时间了。
快速幂的原理：
还是原来的，我们会发现，其实指数b是可以拆成二进制的。通过式子，我们可以发现，一旦指数b拆成二进制，那么也可以进行相应的拆分。
例如，当b=11时，b的二进制为，即。
那么，。
经过上述操作，要求，我们只需要进行3次计算，而用朴素算法我们需要进行11次计算。
接着就是如何判断一个数在二进制形式的某个位置是0还是1，以及具体的代码实现了。
因为是二进制，我们很容易联想到位运算，这里我们需要用到与运算&和右移运算>>。
- &运算：通常用于二进制取位操作，例如一个数x & 1 的结果就是取二进制的最末位的值。还可以判断这个数的奇偶性，如果x&1==0，则x为偶数；如果x&1==1，则x为奇数。
- >>运算：在这里是作为除法来使用，例如一个数x，x >> 1就表示x右移一位，即x=x/2。
具体代码：【快速幂】【模板】
//【快速幂】
#include
#include
using namespace std;
// 快速幂的核心代码
int pow(int a,int b)
{
int ans=1,base=a;// ans：幂的结果；base：底数a
while(b)
{
if(b & 1)
{
ans=ans*base;
}
base=base*base;
b = b >> 1;
}
return ans;
}
int main()
{
int a,b;
scanf("%d%d",&a,&b);
printf("结果：%d\n",pow(a,b));
}
其中，主要要理解base*=base这一步：
因为，下一步再乘，就是，然后同理
，由此可以到
指数正是 ，再看上面的例子，，这三项就可以完美解决了，快速幂就是这样。
快速幂取模：
所谓的快速幂取模，就是快速的求一个幂式的模(余)。在程序设计过程中，经常要去求一些大数对于某个数的余数，为了得到更快、计算范围更大的算法，产生了快速幂取模算法。
下面我们以为例。
方法一：【最朴素的实现】
int pow_mod(int a,int b,int c)
{
int ans = 1;
for(int i = 1;i <= b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
return ans;
}
缺点：这个方法存在着明显的问题，如果a和b过大，很容易就会溢出。
我们知道，模运算与基本四则运算类似，具体如下图：(图片来自百度百科)
在这里我们需要用到的是第四条公式：
方法二：
int pow_mod(int a,int b,int c)
{
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i <= b;i++)
{
ans = ans * a;
}
ans = ans % c;
return ans;
}
因为某个因子（数）取余之后相乘再取余保持余数不变，那么新算得的ans也可以进行取余，因此得到比较良好的改进版本。
方法三：
int pow_mod(int a,int b,int c)
{
int ans = 1;
a = a % c; //加上这一句
for(int i = 1;i <= b;i++)
{
ans = (ans * a)%c;// 这里再取一次余
}
ans = ans % c;
return ans;
}
以上方法的时间复杂度均为，在c过大的条件下，很容易超时。因此，我们需要用到快速幂取模来降低时间复杂度。
快速幂取模算法依赖于以下明显的公式：
方法四：【快速幂取模】【模板】
// time：O(logN)
// 这里不考虑指数为负数的情况
int pow_mod(int a,int b,int c)
{
int ans = 1,base=a;// ans：结果；base：底数
base = base % c;
//【考虑0次方的情况】
if(b==0)
{
return 1%c;// 任意a的0次幂都是1,故直接用1%c即可
}
while(b)
{
if(b & 1) // 与运算，判断奇偶性
ans = (ans*base) % c;
b = b >> 1;// 右移一位，相当于除2
base = (base * base) % c;
}
return ans;
}
写在最后：
参考资料：
- 博客：https://www.cnblogs.com/wuyudong/p/3637479.html
- 博客：https://www.cnblogs.com/CXCXCXC/p/4641812.html
- 百度百科：https://baike.baidu.com/item/%E5%8F%96%E6%A8%A1%E8%BF%90%E7%AE%97/10739384?fr=aladdin
再一次感受到了二进制的奇妙。如有错误，欢迎指出。